Em uma fábrica de chocolate em pó, utiliza-se tubulações com o ar comprimido para mover o chocolate em pó entre diferentes setores. Entretanto, com o atrito, o chocolate, acaba ficando eletricamente carregado, de tal forma que temos uma densidade volumétrica uniforme de cargas positivas dentro da tubulação de raio R. Suponha que os tubos são condutores e encontram-se aterrados, e que a constante dielétrica do ar não é alterada pelo chocolate em pó.
Calcule o campo elétrico dentro ( ) e fora da tubulação ( ), considerando que está é um cilindro muito longo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletricidade envolvendo campos elétricos em tubulações. O problema fala sobre uma tubulação condutora carregada com uma densidade volumétrica de carga positiva rho. Precisamos calcular o campo elétrico tanto dentro da tubulação (0 <= r <= R) quanto fora dela (r >= R), considerando que a tubulação é muito longa. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga interna.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss, que diz:
oint E cdot dA = qintvarepsilon0
Aqui, oint E cdot dA é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada, qint é a carga interna dentro dessa superfície, e varepsilon0 é a constante dielétrica do vácuo.
Passo 3
Vamos escolher uma superfície gaussiana adequada. Como a tubulação é um cilindro muito longo e a distribuição de carga é simétrica, escolhemos um cilindro coaxial com a tubulação, de comprimento L e raio r. Isso simplifica os cálculos porque o campo elétrico será radial e de mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana.
Passo 4
Vamos calcular o fluxo elétrico através da superfície gaussiana. A única parte que contribui para o fluxo é a superfície lateral do cilindro, já que as extremidades são paralelas ao campo elétrico. A área lateral é:
A = 2pi r L
E o fluxo elétrico será:
oint E cdot dA = E cdot 2pi r L
Passo 5
Agora, precisamos determinar a carga interna qint. A carga está distribuída volumetricamente na tubulação com densidade rho. Então, para um raio r <= R (dentro da tubulação), o volume considerado é:
V = pi r^2 L
Portanto, a carga interna é:
qint = rho V = rho pi r^2 L
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 2pi r L = rho pi r^2 Lvarepsilon0
Podemos simplificar cancelando pi L dos dois lados:
E cdot 2r = rho r^2varepsilon0
Passo 7
Resolvendo para o campo elétrico E dentro da tubulação (r <= R):
E = rho r2 varepsilon0
Passo 8
Agora, vamos considerar o caso fora da tubulação (r >= R). A carga interna agora engloba todo o volume da tubulação:
qint = rho pi R^2 L
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
E cdot 2pi r L = rho pi R^2 Lvarepsilon0
Cancelando pi L:
E cdot 2r = rho R^2varepsilon0
Passo 9
Resolvendo para o campo elétrico E fora da tubulação (r >= R):