Molybdenum (Mo) has a BCC crystal structure, an atomic radius of 0.1363 nm , and an atomic weight of 95.94 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}. Compute and compare its theoretical density with the experimental value.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a densidade teórica do molibdênio (Mo) e compare com o valor experimental. As informações dadas são:
\text{estrutura cristalina: BCC}
\text{raio atômico: } r = 0,1363\\ \text{nm}ô
\text{massa atômica (peso atômico): } M = 95,94\\ \mathrm{g/mol}ôô
Também vou usar a constante de Avogadro
N_A = 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}
As perguntas explícitas: calcular a densidade teórica \rho_{\text{teo}} e comparar com o valor experimental (vou usar o valor experimental conhecido \rho_{\text{exp}}=10,28\\ \mathrm{g/cm^3}).

Passo 2

Entender como calcular a densidade a partir da estrutura cristalina. A densidade é massa por volume:
\rho=\frac{\text{massa no elemento de rede}}{\text{volume do elemento de rede}}.
Para uma estrutura BCC (body-centered cubic):
  • o número de átomos por célula unitária é 2 (oito cantos que contribuem com 1/8 cada + 1 átomo no centro).
  • a relação entre parâmetro de rede a e o raio atômico r vem da diagonal do corpo: a diagonal do corpo tem comprimento \sqrt{3}\,a e atravessa 4 raios (contato átomo-canto → átomo-central → átomo-canto), logo
\sqrt{3}\,a = 4r \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4r}{\sqrt{3}}.
Explicando devagar: imagine a diagonal que liga um canto do cubo ao canto oposto passando pelo átomo central; essa distância corresponde a 4 vezes o raio atômico porque há contato átomo-átomo ao longo dessa linha.

Passo 3

Converter unidades e calcular a. Primeiro converto r para centímetros (porque quero a densidade em \mathrm{g/cm^3}). Lembre: 1\\ \text{nm}=10^{-7}\\ \text{cm}. Então
r = 0,1363\\ \text{nm} = 0,1363\times10^{-7}\\ \text{cm} = 1{,}363\times10^{-8}\\ \text{cm}.
Agora calculo a:
a=\frac{4r}{\sqrt{3}}=\frac{4\cdot 1{,}363\times10^{-8}}{\sqrt{3}}\\ \text{cm}.
Faço a conta passo a passo. Primeiro 4r = 5{,}452\times10^{-8}\\ \text{cm}. Como \sqrt{3}\approx1{,}73205,
a=\frac{5{,}452\times10^{-8}}{1{,}73205}=3{,}1488\times10^{-8}\\ \text{cm}.

Passo 4

Calcular o volume da célula unitária:
V=a^3=(3{,}1488\times10^{-8})^3\\ \text{cm}^3.
Calculo o cubo:
V \approx 3{,}1237\times10^{-23}\\ \text{cm}^3.
(Demonstro mentalmente: 3{,}1488^3\approx31{,}237 e com o fator 10^{-24} 3{,}1237\times10^{-23}.)

Passo 5

Calcular a massa por célula unitária. Cada célula tem 2 átomos. A massa de um átomo é M/N_A. Então a massa da célula é
m_{\text{cel}} = 2\cdot\frac{M}{N_A} = 2\cdot\frac{95{,}94\\ \mathrm{g/mol}}{6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}}.
Faço a conta:
\frac{95{,}94}{6{,}022}\approx15{,}93\quad\Rightarrow\quad \frac{95{,}94}{6{,}022\times10^{23}}\approx1{,}593\times10^{-22}\\ \mathrm{g}
(portanto massa de um átomo \approx 1{,}593\times10^{-22}\\ \mathrm{g}). Multiplicando por 2:
m_{\text{cel}}\approx 3{,}186\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Calcular a densidade teórica usando \rho = m_{\text{cel}}/V:
\rho_{\text{teo}}=\frac{3{,}186\times10^{-22}\\ \mathrm{g}}{3{,}1237\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^3}}.
Faço a divisão:
\rho_{\text{teo}}\approx 10{,}20\\ \mathrm{g/cm^3}.
Então a densidade teórica que obtivemos é \approx10{,}20\\ \mathrm{g/cm^3}.

Passo 7

Comparar com o valor experimental. O valor experimental (tabela) é
\rho_{\text{exp}}=10{,}28\\ \mathrm{g/cm^3}.
Calculo a diferença percentual relativa ao experimental:
\delta = \frac{\rho_{\text{exp}}-\rho_{\text{teo}}}{\rho_{\text{exp}}}\times100\%=\frac{10{,}28-10{,}20}{10{,}28}\times100\%\approx0{,}78\%.
Portanto a densidade teórica é cerca de 0{,}78\% menor que a experimental. Essa diferença pequena pode ser atribuída a fatores reais não considerados no cálculo idealizado: variações na medida do raio atômico, pura cristalinidade, impurezas, temperatura (expansão térmica), e idealização do modelo rígido-esférico dos átomos.

Resposta

\rho_{\text{teo}} \approx 10{,}20\\ \mathrm{g/cm^3}\n
\rho_{\text{exp}} = 10{,}28\\ \mathrm{g/cm^3};\\ \text{diferença} \approx 0{,}78\%ç

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