Titanium (Ti) has an HCP crystal structure and a density of 4.51 \mathrm{~g} / \mathrm{cm} 3. (a) What is the volume of its unit cell in cubic meters? (b) If the c/a ratio is 1.58 , compute the values of c and a.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) o volume da cela unitária de titânio (Ti) em metros cúbicos; (b) sabendo que a razão c/a vale 1,58, calcular os parâmetros de rede a e c.\n
As informações dadas e dados que vou usar (tudo importante):
  • Ti tem estrutura hexagonal compacta (HCP) e densidade \rho = 4,51\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Para HCP uso a cela unitária convencional que contém 6 átomos por cela (é a forma padrão de tratar HCP em problemas de densidade).
  • Massa atômica do titânio (valor padrão que vou usar): M = 47,867\\ \mathrm{g/mol}.
  • Constante de Avogadro: N_A = 6,02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • A relação geométrica entre a, c e o volume da cela convencional hexagonal será usada (não resolvo ainda, só anoto que vou precisar dela).

Passo 2

Primeiro vamos transformar unidades para trabalhar com o SI e calcular a massa da cela unitária.\n
Explicação-teórica rápida: densidade \rho é massa por volume. Se conheço quantos átomos há na cela e a massa de cada átomo (através da massa molar), então a massa da cela é
m_{\text{cel}} = \frac{n\cdot M}{N_A},
onde n é o número de átomos por cela, M é a massa molar em kg/mol e N_A é Avogadro. Depois V_{\text{cel}} = m_{\text{cel}}/\rho.\n
Agora converter e substituir valores (sempre mostrando as conversões):\n
Massa molar em SI:
M = 47{,}867\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}047867\\ \mathrm{kg/mol}.
Número de átomos por cela (HCP convencional): n=6.\n
Massa da cela:
m_{\text{cel}}=\frac{6\cdot 0{,}047867}{6{,}02214076\times10^{23}}\\ \mathrm{kg}.
Faço a conta (mostrando o resultado aproximado):
m_{\text{cel}}\approx 4{,}77\times10^{-25}\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Transformo a densidade para unidades do SI e uso \rho = m/V para achar o volume da cela.\n
Converter densidade:
\rho = 4{,}51\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 4{,}51\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Agora o volume da cela:
V_{\text{cel}}=\frac{m_{\text{cel}}}{\rho} =\frac{4{,}77\times10^{-25}}{4{,}51\times10^{3}}\\ \mathrm{m^{3}}.
Calculando:
V_{\text{cel}}\approx 1{,}06\times10^{-28}\\ \mathrm{m^{3}}.
Comentário amigável: esse é o volume da cela unitária convencional (aquela que contém 6 átomos).

Passo 4

Agora preciso relacionar esse volume com os parâmetros de rede a e c.\n
A base da cela hexagonal convencional é um hexágono regular de lado a. Uma forma intuitiva de ver a área da base é dividir o hexágono em 6 triângulos equiláteros de lado a; a área de cada triângulo é \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}. Portanto a área do hexágono (base da cela) é
A_{\text{base}} = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}.
O volume da cela convencional (prisma hexagonal) é área da base vezes a altura c:
V_{\text{cel}} = A_{\text{base}}\cdot c = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}c.
Observação didática: essa expressão corresponde à cela convencional HCP que contém 6 átomos — por isso usamos n=6 no passo anterior.

Passo 5

Usando a razão c/a = 1{,}58 eu escrevo c = 1{,}58\,a e substituo na expressão do volume para achar a.\n
Substituindo:
V_{\text{cel}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}\cdot(1{,}58\,a) = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 1{,}58\right)a^{3}.
Defino o fator numérico
D=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 1{,}58 \approx 4{,}104960\ldots
Logo
a^{3}=\frac{V_{\text{cel}}}{D}.
Substituindo V_{\text{cel}}\approx 1{,}06\times10^{-28}\\ \mathrm{m^{3}}:
a^{3}\approx \frac{1{,}06\times10^{-28}}{4{,}104960}\approx 2{,}57\times10^{-29}\\ \mathrm{m^{3}}.
Agora tomo a raiz cúbica (explico rapidamente: a raiz cúbica de x\times10^{y} é (\text{cbrt}(x))\times10^{y/3}, mas aqui apenas calculo numericamente):
a\approx 2{,}96\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Em unidades mais familiares, \;a\approx 2{,}96\\ \text{\AA} (já que 1\\ \text{\AA}=10^{-10}\\ \mathrm{m}).

Passo 6

Com a conhecido, obtenho c usando c=1{,}58\,a:\n
c = 1{,}58\cdot 2{,}96\times10^{-10}\\ \mathrm{m}\approx 4{,}67\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Em angstroms: c\approx 4{,}67\\ \text{\AA}.\n
Checagem rápida (para ter confiança): calculo o volume com esses a e c:
V_{\text{check}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}c\approx 1{,}06\times10^{-28}\\ \mathrm{m^{3}},
que bate com o volume obtido a partir da densidade (pequimas diferenças são apenas de arredondamento).

Resposta

(a) V_{\text{cel}}\approx 1{,}06\times10^{-28}\\ \mathrm{m^{3}}\n
(b) a\approx 2{,}96\times10^{-10}\\ \mathrm{m} \;(\approx 2{,}96\\ \text{\AA})\n
c\approx 4{,}67\times10^{-10}\\ \mathrm{m} \;(\approx 4{,}67\\ \text{\AA})

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