Titanium (Ti) has an HCP crystal structure and a density of
. (a) What is the volume of its unit cell in cubic meters? (b) If the c/a ratio is 1.58 , compute the values of c and a.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) o volume da cela unitária de titânio (Ti) em metros cúbicos; (b) sabendo que a razão
vale
, calcular os parâmetros de rede
e
.\n
As informações dadas e dados que vou usar (tudo importante):
As informações dadas e dados que vou usar (tudo importante):
- Ti tem estrutura hexagonal compacta (HCP) e densidade
. - Para HCP uso a cela unitária convencional que contém
átomos por cela (é a forma padrão de tratar HCP em problemas de densidade). - Massa atômica do titânio (valor padrão que vou usar):
. - Constante de Avogadro:
. - A relação geométrica entre
, e o volume da cela convencional hexagonal será usada (não resolvo ainda, só anoto que vou precisar dela).
Passo 2
Primeiro vamos transformar unidades para trabalhar com o SI e calcular a massa da cela unitária.\n
Explicação-teórica rápida: densidade é massa por volume. Se conheço quantos átomos há na cela e a massa de cada átomo (através da massa molar), então a massa da cela é
Explicação-teórica rápida: densidade
onde
é o número de átomos por cela,
é a massa molar em kg/mol e
é Avogadro. Depois
.\n
Agora converter e substituir valores (sempre mostrando as conversões):\n
Massa molar em SI:
Agora converter e substituir valores (sempre mostrando as conversões):\n
Massa molar em SI:
Número de átomos por cela (HCP convencional):
.\n
Massa da cela:
Massa da cela:
Faço a conta (mostrando o resultado aproximado):
Passo 3
Transformo a densidade para unidades do SI e uso
para achar o volume da cela.\n
Converter densidade:
Converter densidade:
Agora o volume da cela:
Calculando:
Comentário amigável: esse é o volume da cela unitária convencional (aquela que contém 6 átomos).
Passo 4
Agora preciso relacionar esse volume com os parâmetros de rede
e
.\n
A base da cela hexagonal convencional é um hexágono regular de lado . Uma forma intuitiva de ver a área da base é dividir o hexágono em 6 triângulos equiláteros de lado
; a área de cada triângulo é
. Portanto a área do hexágono (base da cela) é
A base da cela hexagonal convencional é um hexágono regular de lado
O volume da cela convencional (prisma hexagonal) é área da base vezes a altura
:
Observação didática: essa expressão corresponde à cela convencional HCP que contém
átomos — por isso usamos
no passo anterior.
Passo 5
Usando a razão
eu escrevo
e substituo na expressão do volume para achar
.\n
Substituindo:
Substituindo:
Defino o fator numérico
Logo
Substituindo
:
Agora tomo a raiz cúbica (explico rapidamente: a raiz cúbica de
é
, mas aqui apenas calculo numericamente):
Em unidades mais familiares,
(já que
).
Passo 6
Com
conhecido, obtenho
usando
:\n
Em angstroms:
.\n
Checagem rápida (para ter confiança): calculo o volume com esses e
:
Checagem rápida (para ter confiança): calculo o volume com esses
que bate com o volume obtido a partir da densidade (pequimas diferenças são apenas de arredondamento).
Resposta
(a)
\n
(b)
\n
(b)