The unit cell for uranium ( U ) has orthorhombic symmetry, with \mathrm{a}, \mathrm{b}, and c lattice parameters of 0.286,0.587, and 0.495 nm , respectively. If its density, atomic weight, and atomic radius are 19.05 \mathrm{~g} / \mathrm{cm} 3,238.03 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, and 0.1385 nm , respectively, compute the atomic packing factor.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o fator de empacotamento atômico (atomic packing factor, APF) para o urânio com célula unitária ortorrômbica. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
\text{a} = 0{,}286\\ \text{nm},\quad \text{b} = 0{,}587\\ \text{nm},\quad \text{c} = 0{,}495\\ \text{nm},
\rho = 19{,}05\\ \text{g/cm}^3,\quad M = 238{,}03\\ \text{g/mol},\quad r = 0{,}1385\\ \text{nm}.
O que nos pedem: calcular o APF, que é a fração do volume da célula unitária ocupada pelos átomos (modelados como esferas de raio r).

Passo 2

Definição e ideia do método (aulas rapidinhas para você levar pra prova):
O APF é dado por
\text{APF}=\frac{\text{volume total ocupado pelos átomos na célula}}{\text{volume da célula unitária}}.áééá
Para uma célula com N átomos por célula, volume total ocupado é N vezes o volume de uma esfera de raio r, ou seja
V_{\text{átomos}}=N\cdot \frac{4}{3}\pi r^3.á
O volume da célula ortorrômbica é simplesmente
V_{\text{célula}}=a\cdot b\cdot c.é
Um problema prático: nem sempre sabemos N a priori. Mas podemos obtê-lo a partir da densidade usando:
\rho=\frac{N\;M}{N_A \; V_{\text{célula}}},é
onde N_A é o número de Avogadro. Desse modo podemos calcular N e seguir para APF. Vou mostrar cada passo e por que cada fórmula é válida.

Passo 3

Converter as medidas para unidades consistentes (usar cm para ficar compatível com \rho em \text{g/cm}^3):
1\\ \text{nm}=1\times10^{-7}\\ \text{cm}.
Logo
a=0{,}286\\ \text{nm}=0{,}286\times10^{-7}\\ \text{cm}=2{,}86\times10^{-8}\\ \text{cm},
b=0{,}587\\ \text{nm}=5{,}87\times10^{-8}\\ \text{cm},
c=0{,}495\\ \text{nm}=4{,}95\times10^{-8}\\ \text{cm}.
Calcular o volume da célula:
V_{\text{célula}}=a\cdot b\cdot c=(2{,}86\times10^{-8})\,(5{,}87\times10^{-8})\,(4{,}95\times10^{-8})\\ \text{cm}^3.é
Agora fazemos a multiplicação passo a passo:
(2{,}86\times5{,}87)=16{,}7882,
16{,}7882\times4{,}95=83{,}0619\\ (\text{aprox.}),
e considerando os expoentes 10^{-8}\cdot10^{-8}\cdot10^{-8}=10^{-24}, obtemos
V_{\text{célula}}\approx 8{,}30619\times10^{-23}\\ \text{cm}^3.é

Passo 4

Determinar o número de átomos N por célula usando a densidade. A fórmula rearranjada é
N=\frac{\rho\;V_{\text{célula}}\;N_A}{M}.é
Substituindo valores ( N_A=6{,}022\times10^{23}\\ \text{mol}^{-1}):
Primeiro calcule \rho\;V_{\text{célula}}\;N_Aé:
\rho\;V_{\text{célula}}\;N_A =19{,}05\times(8{,}30619\times10^{-23})\times(6{,}022\times10^{23}).é
Faça a parte sem expoentes:
8{,}30619\times6{,}022\approx50{,}0198,
então
19{,}05\times50{,}0198\approx952{,}88.
Agora divida por M:
N\approx\frac{952{,}88}{238{,}03}\approx4{,}003\approx4.
Interpretação: a célula contém N=4 átomos — isso faz sentido fisicamente para estruturas ortorrômbicas como a do urânio alfa.

Passo 5

Calcular o volume de um átomo (modelo esférico) com raio r. Converter r para cm:
r=0{,}1385\\ \text{nm}=1{,}385\times10^{-8}\\ \text{cm}.
Volume de uma esfera:
V_{\text{átomo}}=\frac{4}{3}\pi r^3.á
Calcule r^3:
r^3=(1{,}385\times10^{-8})^3=1{,}385^3\times10^{-24}\approx2{,}65777\times10^{-24}\\ \text{cm}^3.
Agora
V_{\text{átomo}}\approx\frac{4}{3}\pi\times2{,}65777\times10^{-24} \approx4{,}18879\times2{,}65777\times10^{-24} \approx1{,}1129\times10^{-23}\\ \text{cm}^3.á

Passo 6

Volume total ocupado pelos átomos na célula:
V_{\text{átomos}}=N\cdot V_{\text{átomo}}=4\times1{,}1129\times10^{-23} \approx4{,}4516\times10^{-23}\\ \text{cm}^3.áá

Passo 7

Calcular o APF:
\text{APF}=\frac{V_{\text{átomos}}}{V_{\text{célula}}} =\frac{4{,}4516\times10^{-23}}{8{,}30619\times10^{-23}} \approx0{,}5360.áé
Em porcentagem isso é aproximadamente 53{,}6\%.

Resposta

0,536\\ (\text{aprox. }53{,}6\%)

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