The unit cell for uranium ( U ) has orthorhombic symmetry, with
, and c lattice parameters of
, and 0.495 nm , respectively. If its density, atomic weight, and atomic radius are
, and 0.1385 nm , respectively, compute the atomic packing factor.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o fator de empacotamento atômico (atomic packing factor, APF) para o urânio com célula unitária ortorrômbica. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
O que nos pedem: calcular o APF, que é a fração do volume da célula unitária ocupada pelos átomos (modelados como esferas de raio
).
Passo 2
Definição e ideia do método (aulas rapidinhas para você levar pra prova):
O APF é dado por
O APF é dado por
Para uma célula com
átomos por célula, volume total ocupado é
vezes o volume de uma esfera de raio
, ou seja
O volume da célula ortorrômbica é simplesmente
Um problema prático: nem sempre sabemos
a priori. Mas podemos obtê-lo a partir da densidade usando:
onde
é o número de Avogadro. Desse modo podemos calcular
e seguir para APF. Vou mostrar cada passo e por que cada fórmula é válida.
Passo 3
Converter as medidas para unidades consistentes (usar cm para ficar compatível com
em
):
Logo
Calcular o volume da célula:
Agora fazemos a multiplicação passo a passo:
e considerando os expoentes
, obtemos
Passo 4
Determinar o número de átomos
por célula usando a densidade. A fórmula rearranjada é
Substituindo valores (
):
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Faça a parte sem expoentes:
então
Agora divida por
:
Interpretação: a célula contém
átomos — isso faz sentido fisicamente para estruturas ortorrômbicas como a do urânio alfa.
Passo 5
Calcular o volume de um átomo (modelo esférico) com raio
. Converter
para cm:
Volume de uma esfera:
Calcule
:
Agora
Passo 6
Volume total ocupado pelos átomos na célula:
Passo 7
Calcular o APF:
Em porcentagem isso é aproximadamente
.