O momento angular orbital L de uma particula é dado por L=r times p=m r times v, em que p é o momento linear. Com as velocidades linear e angular relacionadas por v=omega times r, mostre que
L=m r^2[omega-r(r cdot omega)]
Para r cdot omega=0, isso se reduz a L=I omega, com o momento de inércia I dado por m r^2.

Passo 1

O enunciado nos dá o momento angular orbital
L = m,rtimesv
e a relação entre velocidade linear e angular
v = omegatimesr.
O objetivo é usar essas definições e a identidade do produto misto para chegar a
L = m,r^2l[omega - r,(rcdotomega)r]

Passo 2

Substituímos v = omegatimesr em L:
L = m,rtimes(omegatimesr)
Para simplificar, usamos a identidade vetorial do triplo produto:
rtimes(omegatimesr) = omega,(rcdotr) ;-;r,(rcdotomega)

Passo 3

Observamos que rcdotr=r^2 e escrevemos r=r,r, então
r,(rcdotomega) = r,r,l(r,rcdotomegar) = r^2,r,(rcdotomega)
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rtimes(omegatimesr) = omega,r^2 ;-; r^2,r,(rcdotomega) = r^2l[omega - r,(rcdotomega)r]

Passo 4

Multiplicando por m, obtemos a expressão desejada:
L = m,rtimes(omegatimesr) = m,r^2l[omega - r,(rcdotomega)r]

Passo 5

No caso especial em que rcdotomega=0 (isto é, omegaperpr), fica
L = m,r^2,omega,
e reconhecemos I = m,r^2 como momento de inércia, de modo que L=I,omega.

Resposta

L=m,r^2l[omega-r(rcdotomega)r]
Para rcdotomega=0, L=I,omega com I=m,r^2.

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