Para uma partícula que se movimenta em uma órbita circular, r=(r cos omega t) i+ (r sen omega t) j,
(a) avalie r times dotr, com dotr=d rd t=v;
(b) mostre que ddotr+omega^2 r=0, com ddotr=d vd t.
(O raio e a velocidade angular omega são constantes).

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula em movimento circular uniforme com raio r e velocidade angular omega, cuja posição é
r(t) = l(rcosomega tr),hatimath + l(rsinomega tr),hatjmath
Preciso calcular (a) o produto vetorial vec rtimesdotvec r e (b) mostrar que ddotvec r+omega^2vec r=0. Para isso vou usar derivadas de vetores e a definição de produto vetorial em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Calcular a velocidade dotvec r=vec v por derivação componente a componente:
dotvec r = ddtl(rcosomega tr),hatimath + ddtl(rsinomega tr),hatjmath = l(-romegasinomega tr),hatimath + l(romegacosomega tr),hatjmath

Passo 3

Calcular o produto vetorial usando o determinante em três dimensões (com componente k nula em vec r e dotvec r):
vec rtimesdotvec r = hatimath & hatjmath & hat k rcosomega t & rsinomega t & 0 -,romegasinomega t & romegacosomega t & 0 =l(rcosomega tcdot romegacosomega t - rsinomega tcdot(-romegasinomega t)r),hat k =r^2omega(cos^2omega t+sin^2omega t),hat k =r^2omega,hat k

Passo 4

Calcular a aceleração ddotvec r=dotvec v e verificar a relação:
ddotvec r = ddtl(-romegasinomega tr),hatimath + ddtl(romegacosomega tr),hatjmath = l(-romega^2cosomega tr),hatimath + l(-romega^2sinomega tr),hatjmath = -omega^2l(rcosomega t,hatimath + rsinomega t,hatjmathr) = -omega^2,vec r
Rearranjando, obtemos
ddotvec r + omega^2,vec r = 0

Resposta

(a) vec rtimesdotvec r = r^2omega,hat k.
(b) ddotvec r + omega^2,vec r = 0.

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