Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade M=25 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} são aplicados à viga A B constituída de um perfil U. Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no
ponto D

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado (peguei estas dimensões da imagem):
    • Momento fletor: M=25\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
    • Seção em “U” com as seguintes dimensões:
      • altura total (externa) 180\\ \mathrm{mm},
      • largura (comprimento) da aba (flange) para a direita 120\\ \mathrm{mm},
      • espessura da flange (superior e inferior) 30\\ \mathrm{mm},
      • espessura do alma (web) 36\\ \mathrm{mm}.
    • O ponto D é o canto externo da flange superior, isto é, a fibra mais à direita da seção (distância horizontal da borda esquerda x_D=120\\ \mathrm{mm}).
  • O que é pedido:
    • Determinar a tensão no ponto D (isto é, a tensão fletora gerada pelo momento M na fibra mais à direita).

Passo 2

Escolha do método e ideia básica (sem calcular ainda).
  • Quando uma viga está submetida a um momento puro de flexão que faz a peça curvar em um plano horizontal, a tensão fletora em uma fibra localizada a uma distância horizontal x em relação ao eixo neutro vertical é dada pela fórmula conhecida da flexão pura:
\sigma = \dfrac{M\,y}{I},
onde:
  • M é o momento fletor (em N·mm no SI coerente),
  • y é a distância da fibra até o eixo neutro (no nosso caso: distância horizontal do centróide da seção até o ponto D; podemos chamar essa distância de c),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (aqui o eixo vertical que passa pelo centróide).
  • Plano de ação:
    1. Determinar o centróide da seção (posição do eixo neutro vertical), calculando as áreas e os centros das partes (duas flanges e alma).
    2. Calcular o momento de inércia I em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide usando o teorema dos eixos paralelos.
    3. Calcular a distância c do centróide até D.
    4. Usar \sigma = M c / I, convertendo unidades corretamente.

Passo 3

Cálculo das áreas e da posição do centróide (eixo neutro vertical).
  • Dividimos a seção em três retângulos (tomando a altura do alma excluindo as espessuras das flanges):
    • Flange superior: largura b_f=120\\ \mathrm{mm}, altura (espessura) h_f=30\\ \mathrm{mm}.
    • Alma (web): largura b_w=36\\ \mathrm{mm}, altura h_w=180-2\cdot30=120\\ \mathrm{mm}.
    • Flange inferior: mesma que a flange superior.
  • Áreas:
A_f = b_f h_f = 120\cdot 30 = 3600\\ \mathrm{mm}^2\quad(\text{cada flange}),
A_w = b_w h_w = 36\cdot 120 = 4320\\ \mathrm{mm}^2.
  • Abscissas dos centróides (medidas a partir da face esquerda da alma, que tomamos como x=0):
x_{f} = \dfrac{b_f}{2} = \dfrac{120}{2} = 60\\ \mathrm{mm},
x_{w} = \dfrac{b_w}{2} = \dfrac{36}{2} = 18\\ \mathrm{mm}.
  • Coordenada x do centróide da seção (eixo neutro vertical) por média ponderada:
x_c = \dfrac{A_f x_f + A_w x_w + A_f x_f}{A_f + A_w + A_f} = \dfrac{2A_f x_f + A_w x_w}{2A_f + A_w}.
Substituindo números:
x_c = \dfrac{2\cdot 3600\cdot 60 + 4320\cdot 18}{2\cdot3600 + 4320} = \dfrac{509760}{11520} = 44{,}25\\ \mathrm{mm}.
Assim, o eixo neutro vertical está a x_c=44{,}25\\ \mathrm{mm} da face esquerda.

Passo 4

Cálculo do momento de inércia I em relação ao eixo neutro vertical (usando o teorema dos eixos paralelos).
  • Fórmula do momento de inércia de um retângulo (em relação ao eixo vertical que passa pelo seu centróide):
I_{\text{rect,centro}} = \dfrac{1}{12}\,h\,b^{3},
onde b é a largura na direção do eixo (aqui horizontal) e h a altura perpendicular (aqui vertical). Depois aplicamos o termo de transferência A d^2, com d sendo a distância entre os centróides.
  • Momento de inércia de cada peça em torno do seu próprio centro:
    • Flange (cada):
I_{f,\text{centro}} = \dfrac{1}{12}\,h_f\,b_f^{3} = \dfrac{1}{12}\cdot 30\cdot 120^{3} = 4\,320\,000\\ \mathrm{mm}^4.
  • Alma:
I_{w,\text{centro}} = \dfrac{1}{12}\,h_w\,b_w^{3} = \dfrac{1}{12}\cdot 120\cdot 36^{3} = 466\,560\\ \mathrm{mm}^4.
  • Distâncias dos centros das partes ao centróide da seção:
d_f = x_f - x_c = 60 - 44{,}25 = 15{,}75\\ \mathrm{mm},
d_w = x_w - x_c = 18 - 44{,}25 = -26{,}25\\ \mathrm{mm}\quad(\text{o quadrado será usado}).á
  • Termos A d^2:
A_f d_f^2 = 3600\cdot(15{,}75)^2 = 3600\cdot 248{,}0625 = 893\,025\\ \mathrm{mm}^4\quad\text{(cada flange)},
A_w d_w^2 = 4320\cdot(26{,}25)^2 = 4320\cdot 689{,}0625 = 2\,976\,750\\ \mathrm{mm}^4.
  • Somando tudo para obter I em relação ao eixo neutro vertical:
I = 2\cdot\bigl(I_{f,\text{centro}} + A_f d_f^2\bigr) + \bigl(I_{w,\text{centro}} + A_w d_w^2\bigr).
Substituindo:
I = 2\cdot(4\,320\,000 + 893\,025) + (466\,560 + 2\,976\,750) = 13\,869\,360\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 5

Determinar a distância c do eixo neutro até o ponto D.
  • A abscissa de D é x_D=120\\ \mathrm{mm}. Logo a distância horizontal do centróide até D é
c = x_D - x_c = 120 - 44{,}25 = 75{,}75\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Cálculo da tensão fletora em D.
  • Converter o momento para unidades coerentes com I em \mathrm{mm}:
M = 25\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} = 25\,000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m} = 25\,000\cdot 1000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm} = 25\,000\,000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}.
  • Aplicar a fórmula da flexão (módulo, assumindo convenção \sigma = M c / I para a fibra mais afastada):
\sigma_D = \dfrac{M\,c}{I} = \dfrac{25\,000\,000\cdot 75{,}75}{13\,869\,360}\\ \mathrm{N/mm}^2.
  • Calculo numérico:
\sigma_D \approx \dfrac{1{,}89375\times10^{9}}{13{,}869{,}360}\approx 136{,}6\\ \mathrm{N/mm}^2 = 136{,}6\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Interpretação do sinal (tração ou compressão).
  • A expressão usada deu o valor absoluto. O sinal (tração ou compressão) depende do sentido do momento aplicado e da convenção adotada. Tomando a convenção usual em que um momento que “empurra” a extremidade direita para fora produz tensão positiva (tração) na fibra mais à direita, o valor calculado \sigma_D=136{,}6\\ \mathrm{MPa} representa a magnitude da tensão; se o momento tiver sentido contrário, essa fibra estaria comprimida. Portanto, numericamente:
|\sigma_D| \approx 136{,}6\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

\sigma_D \approx 136{,}6\\ \mathrm{MPa} (magnitude da tensão; o sinal (tração ou compressão) depende do sentido do momento aplicado)

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