Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade
são aplicados à viga
constituída de um perfil U. Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no
ponto
ponto
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do enunciado (peguei estas dimensões da imagem):
- Momento fletor:
. - Seção em “U” com as seguintes dimensões:
- altura total (externa)
, - largura (comprimento) da aba (flange) para a direita
, - espessura da flange (superior e inferior)
, - espessura do alma (web)
.
- altura total (externa)
- O ponto
é o canto externo da flange superior, isto é, a fibra mais à direita da seção (distância horizontal da borda esquerda ).
- Momento fletor:
-
O que é pedido:
- Determinar a tensão no ponto
(isto é, a tensão fletora gerada pelo momento na fibra mais à direita).
- Determinar a tensão no ponto
Passo 2
Escolha do método e ideia básica (sem calcular ainda).
- Quando uma viga está submetida a um momento puro de flexão que faz a peça curvar em um plano horizontal, a tensão fletora em uma fibra localizada a uma distância horizontal
em relação ao eixo neutro vertical é dada pela fórmula conhecida da flexão pura:
onde:
-
é o momento fletor (em N·mm no SI coerente), -
é a distância da fibra até o eixo neutro (no nosso caso: distância horizontal do centróide da seção até o ponto ; podemos chamar essa distância de ), -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (aqui o eixo vertical que passa pelo centróide). -
Plano de ação:
- Determinar o centróide da seção (posição do eixo neutro vertical), calculando as áreas e os centros das partes (duas flanges e alma).
- Calcular o momento de inércia
em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide usando o teorema dos eixos paralelos. - Calcular a distância
do centróide até . - Usar
, convertendo unidades corretamente.
Passo 3
Cálculo das áreas e da posição do centróide (eixo neutro vertical).
-
Dividimos a seção em três retângulos (tomando a altura do alma excluindo as espessuras das flanges):
- Flange superior: largura
, altura (espessura) . - Alma (web): largura
, altura . - Flange inferior: mesma que a flange superior.
- Flange superior: largura
-
Áreas:
- Abscissas dos centróides (medidas a partir da face esquerda da alma, que tomamos como
):
- Coordenada
do centróide da seção (eixo neutro vertical) por média ponderada:
Substituindo números:
Assim, o eixo neutro vertical está a
da face esquerda.
Passo 4
Cálculo do momento de inércia
em relação ao eixo neutro vertical (usando o teorema dos eixos paralelos).
- Fórmula do momento de inércia de um retângulo (em relação ao eixo vertical que passa pelo seu centróide):
onde
é a largura na direção do eixo (aqui horizontal) e
a altura perpendicular (aqui vertical). Depois aplicamos o termo de transferência
, com
sendo a distância entre os centróides.
- Momento de inércia de cada peça em torno do seu próprio centro:
- Flange (cada):
- Alma:
- Distâncias dos centros das partes ao centróide da seção:
- Termos
:
- Somando tudo para obter
em relação ao eixo neutro vertical:
Substituindo:
Passo 5
Determinar a distância
do eixo neutro até o ponto
.
- A abscissa de
é . Logo a distância horizontal do centróide até é
Passo 6
Cálculo da tensão fletora em
.
- Converter o momento para unidades coerentes com
em :
- Aplicar a fórmula da flexão (módulo, assumindo convenção
para a fibra mais afastada):
- Calculo numérico:
Passo 7
Interpretação do sinal (tração ou compressão).
- A expressão usada deu o valor absoluto. O sinal (tração ou compressão) depende do sentido do momento aplicado e da convenção adotada. Tomando a convenção usual em que um momento que “empurra” a extremidade direita para fora produz tensão positiva (tração) na fibra mais à direita, o valor calculado
representa a magnitude da tensão; se o momento tiver sentido contrário, essa fibra estaria comprimida. Portanto, numericamente: