- Momento de inércia de um cone sólido Encontre o momento de inércia de um cone circular reto com raio de base 1 e altura 1 em relação ao eixo passando pelo vértice paralelo à base. (Tome
.)
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia de um cone circular reto de raio de base
e altura
em relação ao eixo que passa pelo vértice e é paralelo à base. O cone tem densidade uniforme
. Para resolver, vamos usar fatias cilíndricas (discos) perpendiculares ao eixo, calcular a massa total e depois integrar o momento de inércia de cada disco.
Passo 2
Primeiro calculamos a massa total
do cone. Uma fatia a uma distância
do vértice tem raio
e espessura
. O volume dessa fatia é
Como
, a massa dessa fatia é
. Logo,
Passo 3
Agora calculamos o momento de inércia
usando cada fatia como um disco fino de massa
e raio
. O momento de inércia de um disco fino de massa
e raio
em relação ao seu eixo é
. Aqui
e
, então
Passo 4
Integramos
de
até
:
Resposta
O momento de inércia do cone é
.