Volume da região sob um paraboloide Encontre o volume sob o paraboloide z=x^{2}+y^{2} acima do triângulo delimitado pelas retas y=x, x=0 e x+y=2 no plano x y.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região sob o paraboloide z = x^{2} + y^{2} e acima do triângulo no plano xy limitado por x=0, y=x e x+y=2. Para encontrar esse volume, vamos usar uma integral dupla
V = \iint_{R} \bigl(x^{2} + y^{2}\bigr)\,dA
onde R é o triângulo dado.

Passo 2

Precisamos descrever R em coordenadas cartesianas. As interseções das retas dão os vértices (0,0), (0,2) e (1,1). Para cada x em [0,1], o y varia de y=x (reta inferior) até y=2 - x (reta superior). Logo
V = \int_{x=0}^{1} \int_{y=x}^{2 - x} \bigl(x^{2} + y^{2}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 3

Calculemos primeiro a integral interna em y:
\int_{y=x}^{2 - x} \bigl(x^{2} + y^{2}\bigr)\,dy = \int_{x}^{2 - x} x^{2}\,dy \;+\; \int_{x}^{2 - x} y^{2}\,dy.
Para a primeira parte \displaystyle \int_{x}^{2 - x} x^{2}\,dy = x^{2}\bigl[(2 - x) - x\bigr] = x^{2}(2 - 2x).
Para a segunda parte
\int_{x}^{2 - x} y^{2}\,dy = \left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{y=x}^{y=2 - x} = \frac{(2 - x)^{3} - x^{3}}{3}.
Somando, obtemos
\int_{x}^{2 - x} \bigl(x^{2} + y^{2}\bigr)\,dy = 2x^{2} - 2x^{3} + \frac{(2 - x)^{3} - x^{3}}{3}.

Passo 4

Expandindo e simplificando a expressão acima resulta
\int_{x}^{2 - x} \bigl(x^{2} + y^{2}\bigr)\,dy = \frac{8}{3} \;-\;4x \;+\;4x^{2}\;-\;\frac{8}{3}\,x^{3}.
Agora integramos isso em x de 0 a 1:
V = \int_{0}^{1} \Bigl(\frac{8}{3} - 4x + 4x^{2} - \tfrac{8}{3}x^{3}\Bigr)\,dx = \left[\frac{8}{3}x - 2x^{2} + \tfrac{4}{3}x^{3} - \tfrac{2}{3}x^{4}\right]_{0}^{1} = \frac{4}{3}.

Resposta

O volume da região é \displaystyle \frac{4}{3}.

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