Volume da região sob um paraboloide Encontre o volume sob o paraboloide
acima do triângulo delimitado pelas retas
e
no plano
.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região sob o paraboloide
e acima do triângulo no plano
limitado por
,
e
. Para encontrar esse volume, vamos usar uma integral dupla
onde
é o triângulo dado.
Passo 2
Precisamos descrever
em coordenadas cartesianas. As interseções das retas dão os vértices
,
e
. Para cada
em
, o
varia de
(reta inferior) até
(reta superior). Logo
Passo 3
Calculemos primeiro a integral interna em
:
Para a primeira parte
.
Para a segunda parte
Para a segunda parte
Somando, obtemos
Passo 4
Expandindo e simplificando a expressão acima resulta
Agora integramos isso em
de 0 a 1:
Resposta
O volume da região é
.