1. Momento de inércia de um cone sólido Encontre o momento de inércia de um cone circular reto com raio de base a e altura h em relação ao seu eixo. (Sugestão: situe o cone com seu vértice na origem e seu eixo ao longo do eixo z.)

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de um cone circular reto de massa M, raio de base a e altura h em relação ao seu eixo (que vamos tomar como o eixo z), usando integração de fatias transversais.

Passo 2

O volume do cone é dado por
V = \frac{1}{3}\,\pi\,a^{2}\,h.
Como a massa total é M, a densidade volumétrica é
\rho = \frac{M}{V} = \frac{3M}{\pi\,a^{2}\,h}.

Passo 3

Considere uma fatia do cone a uma altura z (medida desde o vértice) e de espessura dz. O raio dessa seção circular é
r(z) = \frac{a}{h}\,z.
O volume da fatia vale
dV = \pi\,[r(z)]^{2}\,dz = \pi\left(\frac{a}{h}z\right)^{2}dz,
logo a massa da fatia é
dm = \rho\,dV = \rho\,\pi\left(\frac{a}{h}z\right)^{2}dz.

Passo 4

Uma fatia circular de raio r(z) e massa dm tem momento de inércia em torno do eixo perpendicular ao plano do disco (e passando pelo seu centro) igual a
dI = \tfrac{1}{2}\,[r(z)]^{2}\,dm.
Substituindo r(z) e dm obtemos
dI = \frac{1}{2}\,\rho\,\pi\left(\frac{a}{h}z\right)^{2} \;\bigl(\tfrac{a}{h}z\bigr)^{2}dz = \frac{1}{2}\,\rho\,\pi\,\frac{a^{4}}{h^{4}}\,z^{4}\,dz.

Passo 5

Integramos dI de z=0 até z=h:
I = \int_{0}^{h}dI = \frac{1}{2}\,\rho\,\pi\,\frac{a^{4}}{h^{4}} \int_{0}^{h}z^{4}\,dz = \frac{1}{2}\,\rho\,\pi\,\frac{a^{4}}{h^{4}}\cdot\frac{h^{5}}{5} = \frac{\rho\,\pi\,a^{4}\,h}{10}.

Passo 6

Substituindo \rho = \tfrac{3M}{\pi\,a^{2}\,h} no resultado anterior, vem
I = \frac{1}{10}\;\frac{3M}{\pi\,a^{2}\,h}\;\pi\,a^{4}\,h = \frac{3}{10}\,M\,a^{2}.

Resposta

I = \frac{3}{10}\,M\,a^{2}.

Exercícios relacionados