1. O momento de inércia de uma curva com relação a um eixo é dado pela integral sobre a curva do produto do quadrado da distância ao eixo pela densidade de massa. Calcule o momento de inércia de um círculo homogêneo de raio a e massa M com relação a um eixo no plano do círculo passando pelo centro.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de um disco homogêneo de raio a e massa M em relação a um eixo que fica no próprio plano do disco e passa pelo seu centro. O conteúdo principal aqui é usar a definição
I = \int_{\text{corpo}} r^2\,dm
onde r é a distância de cada elemento de massa dm ao eixo de rotação.

Passo 2

Como o disco é homogêneo, definimos a densidade superficial constante
\delta = \frac{M}{\pi a^2}
e podemos escrever dm = \delta\,dA, sendo dA o elemento de área no disco.

Passo 3

Escolhemos um sistema de coordenadas cartesianas (x,y) com o eixo de rotação ao longo de x. Nesse caso, a distância de um ponto (x,y) ao eixo é |y|. Logo
I = \int_{\text{disco}} y^2\,dm = \delta \int_{\text{disco}} y^2\,dA.

Passo 4

Passamos para coordenadas polares (r,\theta), onde
y = r\sin\theta, \quad dA = r\,dr\,d\theta, \quad 0\le r\le a,\quad 0\le\theta\le2\pi.
Então
I = \delta \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a} (r\sin\theta)^2\,r\,dr\,d\theta = \delta \int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta \int_{0}^{a} r^3\,dr.

Passo 5

Calculemos separadamente as integrais:
\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta = \pi, \qquad \int_{0}^{a} r^3\,dr = \frac{a^4}{4}.
Logo
I = \delta \,\pi \,\frac{a^4}{4} = \frac{M}{\pi a^2}\,\pi\,\frac{a^4}{4} = \frac{M\,a^2}{4}.

Resposta

I = \frac{1}{4}\,M\,a^2.

Exercícios relacionados