1. Encontre o valor médio de f(x, y)=y^{2} ao longo da curva C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=2 x, 0 \leq x \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o valor médio da função \,f(x,y)=y^2, ao longo da curva
C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=2x,\;0\le x\le1\}.
O conteúdo aqui é o valor médio de uma função escalar numa curva, dado pela fórmula
\text{valor médio}=\frac{1}{L\text{(C)}}\int_C f\,ds,é
onde L\text{(C)} é o comprimento de C e \int_C f\,ds é a integral de linha de f.

Passo 2

Parametrizamos C por
x=t,\quad y=2t,\qquad t\in[0,1].
Nesse parâmetro,
f(t)=y^2=(2t)^2=4t^2,
e a diferencial de comprimento é
ds=\bigl\|\mathbf r'(t)\bigr\|\,dt,
onde \mathbf r'(t)=(1,2) e
\|\mathbf r'(t)\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.
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ds=\sqrt{5}\,dt.

Passo 3

Calculamos a integral de linha
\int_C f\,ds =\int_{0}^{1}4t^2\;\sqrt{5}\,dt =\sqrt{5}\,\int_0^1 4t^2\,dt =\sqrt{5}\,\biggl[\frac{4\,t^3}{3}\biggr]_0^1 =\frac{4}{3}\,\sqrt{5}.

Passo 4

Calculamos o comprimento de C:
L\text{(C)}=\int_C ds =\int_{0}^{1}\sqrt{5}\,dt =\sqrt{5}.

Passo 5

Finalmente, o valor médio é
\frac{1}{L\text{(C)}}\int_C f\,ds =\frac{1}{\sqrt{5}}\;\frac{4}{3}\,\sqrt{5} =\frac{4}{3}.

Resposta

O valor médio de f ao longo de C é \tfrac{4}{3}.

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