Um toca-discos gira, inicialmente, à taxa de 33 r p m e leva 20 s para atingir o repouso.
(a) Qual a aceleração angular do toca-discos, admitindo constante a aceleração angular?
(b) Quantas voltas o toca-discos dá até entrar em repouso?
(c) Se o raio do toca-discos tiver 14 cm , quais são os módulos das componentes radial e tangencial da aceleração linear num ponto na borda do toca-discos, em t=0 s.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente e o que pede):
  • Velocidade angular inicial: \,33\\ \text{rpm}.
  • Tempo até parar: \,20\\ \text{s}.
  • Raio do toca-discos: \,14\\ \text{cm} (ou seja, \,0,14\\ \text{m}).
    O enunciado pede:
    (a) a aceleração angular, assumindo aceleração angular constante;
    (b) quantas voltas (revoluções) o toca-discos faz até entrar em repouso;
    (c) com r=0,14\\ \text{m}, os módulos das componentes radial e tangencial da aceleração linear num ponto na borda em t=0\\ \text{s}.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter \,33\\ \text{rpm} para radianos por segundo, porque as fórmulas de cinemática rotacional usam rad/s.
  • \,1\\ \text{rpm} = \dfrac{1}{60}\\ \text{rev/s}.
  • \,1\\ \text{rev} = 2\pi\\ \text{rad}.
Então
\omega_0 = 33\\ \text{rpm} = \frac{33}{60}\\ \text{rev/s} = 0,55\\ \text{rev/s}
\omega_0 = 0,55\cdot 2\pi = 1,1\pi\\ \text{rad/s}.
Numérico: 1,1\pi \approx 3,4558\\ \text{rad/s} (vou manter as duas formas: exata em \pi e decimal).
Agora a aceleração angular \alpha com desaceleração constante é dada por
\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{\omega_f-\omega_0}{t},
onde \omega_f=0 (repouso) e t=20\\ \text{s}. Portanto
\alpha = \frac{0 - 1,1\pi}{20} = -0,055\pi\\ \text{rad/s}^2.
Valor numérico:
\alpha \approx -0,1728\\ \text{rad/s}^2.
Comentário didático rápido: o sinal negativo indica que é uma desaceleração (o giro está diminuindo). Em prova, é suficiente apresentar o valor com o sinal para indicar direção (redução da velocidade).

Passo 3

Agora quantas voltas o disco dá até parar. Use a fórmula do deslocamento angular para aceleração angular constante:
\theta = \omega_0 t + \tfrac{1}{2}\alpha t^2.
Uma maneira mais simples (e comum) quando \omega_f=0 é notar que a velocidade angular média é \bar\omega = (\omega_0+\omega_f)/2 = \omega_0/2. Então
\theta = \bar\omega\, t = \frac{\omega_0}{2}\,t.
Substituindo \omega_0 = 1,1\pi e t=20\\ \text{s}:
\theta = \frac{1,1\pi}{2}\cdot 20 = 1,1\pi\cdot 10 = 11\pi\\ \text{rad}.
Para transformar em revoluções:
\text{voltas} = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{11\pi}{2\pi} = \frac{11}{2} = 5,5\\ \text{voltas}.
Explicação didática: com desaceleração constante, a média da velocidade angular é simplesmente a média aritmética entre início e fim; multiplicando pela duração obtém-se o deslocamento angular total.

Passo 4

Agora as componentes da aceleração linear num ponto da borda em t=0. Lembrar das fórmulas:
  • componente radial (centrípeta): a_r = \omega^2 r. Direção: aponta para o centro (sinal convencional negativo se usar orientação radial para fora); aqui pedem módulo, então usamos valor positivo.
  • componente tangencial: a_t = \alpha\, r. Se \alpha for negativa, a tangencial é no sentido que reduz a velocidade; pedem o módulo, então tomo o valor absoluto.
Usar \omega_0 = 1,1\pi\\ \text{rad/s}, \alpha = -0,055\pi\\ \text{rad/s}^2 e r=0,14\\ \text{m}.
Calcule a_r:
a_r = \omega_0^2 r = (1,1\pi)^2\cdot 0,14.
Desenvolvendo,
(1,1\pi)^2 = 1,21\pi^2, \qquad a_r = 1,21\pi^2\cdot 0,14 = 0,1694\pi^2.
Valor numérico (usar \pi^2\approx 9,8696):
a_r \approx 0,1694\cdot 9,8696 \approx 1,672\\ \text{m/s}^2.

Passo 5

Calcule a_t (módulo):
a_t = |\alpha|\, r = 0,055\pi\cdot 0,14 = 0,0077\pi.
Valor numérico:
a_t \approx 0,0077\cdot 3,1416 \approx 0,02419\\ \text{m/s}^2 \approx 0,0242\\ \text{m/s}^2.
Comentário interpretativo rápido: a aceleração radial é muito maior que a tangencial aqui — faz sentido: o toca-discos gira «devagar» (ω pequeno) e desacelera mais lentamente (α pequeno), então a força centrípeta (proporcional a ω^2) domina.

Resposta

(a) \alpha = -0,055\pi\\ \text{rad/s}^2 \approx -0,1728\\ \text{rad/s}^2
(b) 5,5\\ \text{voltas}
(c) a_r \approx 1,672\\ \text{m/s}^2,\\ a_t \approx 0,0242\\ \text{m/s}^2

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