Quatro partículas de massa
estão localizadas no plano
, com coordenadas (
) dadas por
e
, estão ligadas por hastes, sem massa apreciável, e formando um retângulo com extremos dados pelas coordenadas acima.
Repita o cálculo para rotação em torno do eixo
.
Repita o cálculo para rotação em torno do eixo
Passo 1
O enunciado fornece quatro partículas idênticas de massa
, localizadas no plano
nas coordenadas
As hastes que ligam as partículas não têm massa apreciável, formando um retângulo centrado na origem. A pergunta que preciso responder aqui é: calcular o momento de inércia do sistema para rotação em torno do eixo
.
Passo 2
O que é o momento de inércia para pontos materiais e qual fórmula usar.
- Para um sistema de
partículas pontuais, o momento de inércia em relação a um eixo é a soma das massas multiplicadas pelo quadrado da distância perpendicular de cada partícula ao eixo. Em fórmula:
onde
é a massa da
-ésima partícula e
é a distância perpendicular dessa partícula ao eixo de rotação.
- No nosso caso todas as massas são iguais a
, e , portanto
Passo 3
Como calcular
, a distância perpendicular de um ponto qualquer
ao eixo
.
- O eixo
é a reta onde e . A distância perpendicular de uma posição a esse eixo é a distância ao ponto sobre o eixo, que depende só de e . Portanto:
- Para partículas no plano
isso simplifica para
Passo 4
Aplicando ao nosso conjunto de pontos.
- Todas as quatro partículas têm coordenada
. - As ordens
das partículas são . Assim cada partícula tem
- Portanto para cada partícula
.
Passo 5
Somando contribuições ao momento de inércia.
- Usando a fórmula do passo 2 e o resultado do passo 4:
- Soma dos quatro termos iguais:
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida por simetria (motivação didática).
- O resultado mostra que o momento de inércia em relação ao eixo
depende apenas da coordenada das partículas (distância ao eixo ). Isso faz sentido pela definição geométrica. - Como verificação mental: se pedissem a rotação em torno do eixo
, pelo mesmo raciocínio o momento seria , pois aí a distância perpendicular teria sido .