Quatro partículas de massa m estão localizadas no plano x y, com coordenadas ( x, y, z ) dadas por (a, b, 0),(a,-b, 0),(-a, b, 0) e (-a,-b, 0), estão ligadas por hastes, sem massa apreciável, e formando um retângulo com extremos dados pelas coordenadas acima.
Repita o cálculo para rotação em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado fornece quatro partículas idênticas de massa \,m, localizadas no plano xy nas coordenadas
(a,b,0),\\ (a,-b,0),\\ (-a,b,0),\\ (-a,-b,0).
As hastes que ligam as partículas não têm massa apreciável, formando um retângulo centrado na origem. A pergunta que preciso responder aqui é: calcular o momento de inércia do sistema para rotação em torno do eixo x.

Passo 2

O que é o momento de inércia para pontos materiais e qual fórmula usar.
  • Para um sistema de N partículas pontuais, o momento de inércia em relação a um eixo é a soma das massas multiplicadas pelo quadrado da distância perpendicular de cada partícula ao eixo. Em fórmula:
I=\sum_{i=1}^{N} m_i\,r_{\perp,i}^{2},
onde m_i é a massa da i-ésima partícula e r_{\perp,i} é a distância perpendicular dessa partícula ao eixo de rotação.
  • No nosso caso todas as massas são iguais a \,m, e N=4, portanto
I=\sum_{i=1}^{4} m\,r_{\perp,i}^{2}=m\sum_{i=1}^{4} r_{\perp,i}^{2}.

Passo 3

Como calcular r_{\perp}, a distância perpendicular de um ponto qualquer (x,y,z) ao eixo x.
  • O eixo x é a reta onde y=0 e z=0. A distância perpendicular de uma posição (x,y,z) a esse eixo é a distância ao ponto (x,0,0) sobre o eixo, que depende só de y e z. Portanto:
r_{\perp}=\sqrt{y^{2}+z^{2}}.
  • Para partículas no plano z=0 isso simplifica para
r_{\perp}=|y|.

Passo 4

Aplicando ao nosso conjunto de pontos.
  • Todas as quatro partículas têm coordenada z=0.
  • As ordens y das partículas são b,\\\ -b,\\ b,\\\ -b. Assim cada partícula tem
r_{\perp}=|y|=b.
  • Portanto para cada partícula r_{\perp}^{2}=b^{2}.

Passo 5

Somando contribuições ao momento de inércia.
  • Usando a fórmula do passo 2 e o resultado do passo 4:
I_x = m\sum_{i=1}^{4} r_{\perp,i}^{2} = m\,(b^{2}+b^{2}+b^{2}+b^{2}).
  • Soma dos quatro termos iguais:
I_x = m\cdot 4b^{2}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida por simetria (motivação didática).
  • O resultado mostra que o momento de inércia em relação ao eixo x depende apenas da coordenada y das partículas (distância ao eixo x). Isso faz sentido pela definição geométrica.
  • Como verificação mental: se pedissem a rotação em torno do eixo y, pelo mesmo raciocínio o momento seria I_y=4m a^{2}, pois aí a distância perpendicular teria sido |x|=a.

Resposta

I_x = 4 m b^{2}

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