O momento de inércia de uma haste fina e homogênea de massa
e comprimento
em relação a um eixo perpendicular à haste e que passa por seu centro é I_CM = ML²/12. O momento de inércia dessa mesma haste em relação a um eixo paralelo que passa por uma de suas extremidades é:
◯ a)
◯ b)
◯ c)
◯ d)
◯ e)
◯ a)
◯ b)
◯ c)
◯ d)
◯ e)
Passo 1
O enunciado nos deu a seguinte informação e fez a seguinte pergunta:
-
Informação dada:
- O momento de inércia da haste em relação a um eixo perpendicular à haste e que passa pelo seu centro é
. - A haste é fina e homogênea, de massa
e comprimento .
- O momento de inércia da haste em relação a um eixo perpendicular à haste e que passa pelo seu centro é
-
O que é pedido:
- Encontrar o momento de inércia dessa mesma haste em relação a um eixo paralelo ao anterior que passa por uma de suas extremidades (ou seja, eixo perpendicular à haste e deslocado até uma extremidade).
Passo 2
Entendendo o que é momento de inércia e por que um eixo deslocado muda o valor.
-
O momento de inércia é a soma (ou integral) de
para todos os pedaços do corpo. Para um corpo contínuo usa-se a integral ondeé a distância de cada elemento de massa ao eixo de rotação. -
Se mudamos o eixo para uma posição paralela, todas as distâncias
mudam de forma consistente: existe uma relação simples que permite calcular o novo momento a partir do momento em torno do centro de massa. Essa relação é a chamada teorema dos eixos paralelos (ou teorema de Steiner).
Passo 3
Apresentando o teorema dos eixos paralelos (Steiner) e explicando os símbolos.
-
O teorema diz que, para um corpo rígido de massa
, o momento de inércia em relação a um eixo qualquer paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa é onde:-
é o momento de inércia em relação ao novo eixo (deslocado), -
é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa (já conhecido), -
é a massa total do corpo, -
é a distância entre os dois eixos (distância entre o centro de massa e o novo eixo).
-
-
No nosso problema:
- O eixo pelo centro está no centro geométrico da haste (meio do segmento).
- O eixo pedido passa por uma extremidade; portanto a distância entre os eixos é
(metade do comprimento).
Passo 4
Aplicando o teorema com os valores dados e fazendo as contas passo a passo.
-
Substituindo
e na fórmula: -
Calcular o segundo termo:
-
Somando os dois termos (colocando em denominador comum
): -
Simplificando a fração:
Passo 5
Verificação alternativa por integração direta (para reforçar a compreensão).
- Considere coordenada
ao longo da haste, com a extremidade onde está o eixo em e a outra extremidade em . - A densidade linear é
, assim . - O momento de inércia em relação ao eixo na extremidade é
- Calcule a integral:
- Substituindo:
que coincide com o resultado obtido pelo teorema dos eixos paralelos.
Passo 6
Checagem de sanidade e comentário motivador.
- Faz sentido físico: o momento de inércia em relação a uma extremidade é maior que em relação ao centro, pois as massas ficam, em média, mais distantes do eixo. Comparação rápida:
é maior que (fator 4 maior). - Portanto o resultado está coerente e foi confirmado por dois métodos (teorema dos eixos paralelos e cálculo integral).
Resposta
d)