O momento de inércia de uma haste fina e homogênea de massa M e comprimento L em relação a um eixo perpendicular à haste e que passa por seu centro é I_CM = ML²/12. O momento de inércia dessa mesma haste em relação a um eixo paralelo que passa por uma de suas extremidades é:
◯ a) \mathrm{ML}^{2} / 12
◯ b) \mathrm{ML}^{2} / 6
◯ c) M L^{2} / 4
◯ d) \mathrm{ML}^{2} / 3
◯ e) M L^{2} / 2

Passo 1

O enunciado nos deu a seguinte informação e fez a seguinte pergunta:
  • Informação dada:
    • O momento de inércia da haste em relação a um eixo perpendicular à haste e que passa pelo seu centro é I_{\mathrm{CM}}=\dfrac{M L^{2}}{12}.
    • A haste é fina e homogênea, de massa M e comprimento L.
  • O que é pedido:
    • Encontrar o momento de inércia dessa mesma haste em relação a um eixo paralelo ao anterior que passa por uma de suas extremidades (ou seja, eixo perpendicular à haste e deslocado até uma extremidade).

Passo 2

Entendendo o que é momento de inércia e por que um eixo deslocado muda o valor.
  • O momento de inércia é a soma (ou integral) de \text{massa} \times (\text{distância ao eixo})^{2}â para todos os pedaços do corpo. Para um corpo contínuo usa-se a integral
    I=\int r^{2}\,dm,
    onde r é a distância de cada elemento de massa dm ao eixo de rotação.
  • Se mudamos o eixo para uma posição paralela, todas as distâncias r mudam de forma consistente: existe uma relação simples que permite calcular o novo momento a partir do momento em torno do centro de massa. Essa relação é a chamada teorema dos eixos paralelos (ou teorema de Steiner).

Passo 3

Apresentando o teorema dos eixos paralelos (Steiner) e explicando os símbolos.
  • O teorema diz que, para um corpo rígido de massa M, o momento de inércia em relação a um eixo qualquer paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa é
    I = I_{\mathrm{CM}} + M d^{2},
    onde:
    • I é o momento de inércia em relação ao novo eixo (deslocado),
    • I_{\mathrm{CM}} é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa (já conhecido),
    • M é a massa total do corpo,
    • d é a distância entre os dois eixos (distância entre o centro de massa e o novo eixo).
  • No nosso problema:
    • O eixo pelo centro está no centro geométrico da haste (meio do segmento).
    • O eixo pedido passa por uma extremidade; portanto a distância entre os eixos é d=\dfrac{L}{2} (metade do comprimento).

Passo 4

Aplicando o teorema com os valores dados e fazendo as contas passo a passo.
  • Substituindo I_{\mathrm{CM}}=\dfrac{M L^{2}}{12} e d=\dfrac{L}{2} na fórmula:
    I = \dfrac{M L^{2}}{12} + M\left(\dfrac{L}{2}\right)^{2}.
  • Calcular o segundo termo:
    M\left(\dfrac{L}{2}\right)^{2} = M \cdot \dfrac{L^{2}}{4} = \dfrac{M L^{2}}{4}.
  • Somando os dois termos (colocando em denominador comum 12):
    I = \dfrac{M L^{2}}{12} + \dfrac{M L^{2}}{4} = \dfrac{M L^{2}}{12} + \dfrac{3 M L^{2}}{12} = \dfrac{4 M L^{2}}{12}.
  • Simplificando a fração:
    \dfrac{4 M L^{2}}{12} = \dfrac{1}{3} M L^{2}.

Passo 5

Verificação alternativa por integração direta (para reforçar a compreensão).
  • Considere coordenada x ao longo da haste, com a extremidade onde está o eixo em x=0 e a outra extremidade em x=L.
  • A densidade linear é \lambda=\dfrac{M}{L}, assim dm=\lambda\,dx=\dfrac{M}{L}\,dx.
  • O momento de inércia em relação ao eixo na extremidade é I=\int_{0}^{L} x^{2}\,dm=\int_{0}^{L} x^{2}\left(\dfrac{M}{L}\,dx\right)=\dfrac{M}{L}\int_{0}^{L} x^{2}\,dx.
  • Calcule a integral: \int_{0}^{L} x^{2}\,dx=\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{L}=\dfrac{L^{3}}{3}.
  • Substituindo: I=\dfrac{M}{L}\cdot \dfrac{L^{3}}{3}=\dfrac{M L^{2}}{3},que coincide com o resultado obtido pelo teorema dos eixos paralelos.

Passo 6

Checagem de sanidade e comentário motivador.
  • Faz sentido físico: o momento de inércia em relação a uma extremidade é maior que em relação ao centro, pois as massas ficam, em média, mais distantes do eixo. Comparação rápida: \dfrac{M L^{2}}{3} é maior que \dfrac{M L^{2}}{12} (fator 4 maior).
  • Portanto o resultado está coerente e foi confirmado por dois métodos (teorema dos eixos paralelos e cálculo integral).

Resposta

d) \dfrac{1}{3} M L^{2}

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