8 Os momentos angulares \ell(t) de
uma partícula em quatro situações são
(1) \ell=3 t+4; (2) \ell=-6 t^{2}; (3) \ell=2; (4) \ell=4 / t. Em que situação o torque resultante que age sobre a partícula é (a) zero, (b) posi-
tivo e constante, (c) negativo e com o módulo crescente para t>0 e (d) negativo e com o módulo decrescente para t>0 ?

Passo 1

No exercício temos quatro expressões para o momento angular \ell(t):
(1) \ell(t)=3t+4;
(2) \ell(t)=-6t^{2};
(3) \ell(t)=2;
(4) \ell(t)=\tfrac{4}{t}.
O que nos pedem é identificar em cada caso como é o torque resultante \tau(t) — ou seja, sua derivada — e verificar quando ele é (a) zero, (b) positivo e constante, (c) negativo com módulo crescente, (d) negativo com módulo decrescente, para t>0.

Passo 2

Na física, o torque resultante que age sobre uma partícula é dado pela taxa de variação do momento angular:
\tau(t)=\frac{d\ell}{dt}.

Passo 3

Vamos derivar cada caso:
\ell_{1}(t)=3t+4 \quad\Longrightarrow\quad \tau_{1}(t)=\frac{d}{dt}(3t+4)=3,
\ell_{2}(t)=-6t^{2} \quad\Longrightarrow\quad \tau_{2}(t)=\frac{d}{dt}(-6t^{2})=-12t,
\ell_{3}(t)=2 \quad\Longrightarrow\quad \tau_{3}(t)=\frac{d}{dt}(2)=0,
\ell_{4}(t)=\frac{4}{t} \quad\Longrightarrow\quad \tau_{4}(t)=\frac{d}{dt}\Bigl(4t^{-1}\Bigr)=-4t^{-2}=-\frac{4}{t^{2}}.

Passo 4

(a) Torque zero: só o caso \tau_{3}(t)=0 pertence à situação (3).
(b) Torque positivo e constante: \tau_{1}(t)=3>0 e independe de t, ou seja, situação (1).
(c) Torque negativo com módulo crescente (para t>0): em (2) temos \tau_{2}(t)=-12t<0 e \lvert\tau_{2}(t)\rvert=12t cresce conforme t aumenta, logo situação (2).
(d) Torque negativo com módulo decrescente (para t>0): em (4) \tau_{4}(t)=-\tfrac{4}{t^{2}}<0 e \lvert\tau_{4}(t)\rvert=\tfrac{4}{t^{2}} decresce quando t cresce, logo situação (4).

Resposta

(a) 3
(b) 1
(c) 2
(d) 4

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