Uma casca cilíndrica isolante muito longa e de raio \mathrm{r}=3,27 \mathrm{e}-02 \mathrm{~m} está carregada com densidade linear dada por \mathrm{x}=5,48 \mathrm{e}-06 \mathrm{C} / \mathrm{m} distribuída uniformemente sobre sua superfície. Qual seria a leitura de um voltímetro ao liga-lo entre a superfície do cilindro e um ponto a uma distância de \mathrm{d}=3,74 \mathrm{e}-02 \mathrm{~m} acima de sua superfície?

Passo 1

O enunciado descreve uma casca cilíndrica muito longa de raio r=3,27\times10^{-2}\,\mathrm{m} carregada com densidade linear de carga \lambda=5,48\times10^{-6}\,\mathrm{C/m} distribuída na sua superfície. Queremos a diferença de potencial entre a superfície do cilindro (radio r) e um ponto externo a uma distância d=3,74\times10^{-2}\,\mathrm{m} acima da superfície (radio r+d). O conteúdo teórico necessário envolve o campo elétrico de um fio (ou casca) infinita e o cálculo de diferença de potencial via integral de E.

Passo 2

Usando Gauss para uma casca cilíndrica infinita, o campo elétrico no exterior (para r_{\rm radial}>r) é dado por
E(r_{\rm radial}) = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_{0}\,r_{\rm radial}}.

Passo 3

A diferença de potencial entre dois raios a e b (com b>a) é
V(a)-V(b) \;=\; \int_{b}^{a} E(r)\,dr \;=\;\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}} \int_{b}^{a}\frac{dr}{r} \;=\;\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\!\biggl(\frac{a}{b}\biggr).
Aqui tomamos a=r (superfície) e b=r+d (ponto externo).

Passo 4

Substituindo a=r e b=r+d:
V_{\rm superfície}-V_{\rm externo} =\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}} \ln\!\Bigl(\frac{r+d}{r}\Bigr).í

Passo 5

Numerando:
r=3,27\times10^{-2}\,\mathrm{m},\quad d=3,74\times10^{-2}\,\mathrm{m},\quad \lambda=5,48\times10^{-6}\,\mathrm{C/m},\quad \varepsilon_{0}=8,854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}.
Primeiro calcule o fator
\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}} \approx \frac{5,48\times10^{-6}}{2\pi\cdot8,854\times10^{-12}} \approx9{,}85\times10^{4}\,\mathrm{V}.
Em seguida
\ln\!\Bigl(\frac{r+d}{r}\Bigr) =\ln\!\Bigl(\frac{3,27\times10^{-2}+3,74\times10^{-2}}{3,27\times10^{-2}}\Bigr) =\ln(2,144)\approx0,762.
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V_{\rm superfície}-V_{\rm externo} \approx9{,}85\times10^{4}\times0,762 \approx7,51\times10^{4}\,\mathrm{V}.í

Resposta

7,51\times10^{4}\,\mathrm{V}

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