1. Um monopólio está diante da curva de demanda P=40-Q. Considerando que ela tem um custo marginal constante de \ 10 , responda às seguintes questões: a) Qual preço cobrará e qual a quantidade será vendida? b) Se o custo por unidade subir \(\\) 6\(devido a salários maiores (passando para\)\$16 ), qual será o novo preço e a nova quantidade?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Curva de demanda: P=40-Q.
  • Custo marginal (inicial): MC=\$10.
  • Pergunta (a): qual preço cobrará e qual quantidade será vendida com MC=\$10?
  • Pergunta (b): se o custo por unidade subir para MC=\$16, qual será o novo preço e a nova quantidade?

Passo 2

O que precisa saber para resolver (explicação didática, passo a passo, sem pular etapas):
  • Um monopolista escolhe a quantidade Q que maximiza o lucro. O lucro é receita total menos custo total. A condição de máximo é que a receita marginal seja igual ao custo marginal: \text{MR} = \text{MC}.Aqui:
    • \text{MR} é a receita marginal: quanto a receita total aumenta quando se vende uma unidade adicional.
    • \text{MC} é o custo marginal: quanto o custo total aumenta quando se produz uma unidade adicional. No enunciado é constante (primeiro \$10, depois \$16).
  • Como calcular receita marginal:
    1. Primeiro calcule a receita total \text{TR}. A receita total é preço vezes quantidade: \text{TR}(Q) = P(Q)\cdot Q.Substituindo a demanda P(Q)=40-Q temos \text{TR}(Q) = (40-Q)\,Q = 40Q - Q^2.
    2. Receita marginal é a derivada de \text{TR} em relação a Q: \text{MR}(Q) = \frac{d\,\text{TR}}{dQ}.Derivando \text{TR}(Q)=40Q-Q^2: \text{MR}(Q)=40-2Q.
  • Portanto, a regra prática para achar a quantidade de lucro-maximização do monopolista é resolver 40-2Q = \text{MC},e depois obter o preço usando a curva de demanda P = 40 - Q.

Passo 3

Resolver a parte (a) com MC=\$10.
  • Igualar \text{MR} a \text{MC}: 40-2Q = 10.
  • Isolar Q: 2Q = 40-10 = 30, \qquad Q = \frac{30}{2} = 15.
  • Encontrar o preço usando a demanda: P = 40 - Q = 40 - 15 = 25.
  • Resultado (parte a): quantidade vendida Q=15 e preço cobrado P=\$25.

Passo 4

Interpretação curta e intuitiva (para você entender na prova):
  • O monopolista reduz quantidade em relação ao mercado competitivo porque escolhe o ponto onde \text{MR}=\text{MC}, e para demanda linear \text{MR} tem inclinação dupla da demanda. O preço fica acima do custo marginal ( P>MC), gerando markup. Isso é esperado: monopolista não é preço-aceitador.

Passo 5

Resolver a parte (b) com MC=\$16.
  • Igualar \text{MR} a \text{MC}: 40-2Q = 16.
  • Isolar Q: 2Q = 40-16 = 24, \qquad Q = \frac{24}{2} = 12.
  • Encontrar o preço usando a demanda: P = 40 - Q = 40 - 12 = 28.
  • Resultado (parte b): quantidade vendida Q=12 e preço cobrado P=\$28.

Passo 6

Comparação e intuição final (útil para a prova):
  • Quando o custo marginal sobe de \$10 para \$16, a quantidade ótima cai de 15 para 12 e o preço sobe de \$25 para \$28.
  • Intuição: custo maior faz o monopolista reduzir produção; por produzir menos, o preço no ponto da demanda é maior. Isso é consistente com a condição \text{MR}=\text{MC}.

Resposta

(a) P=\$25,\\ Q=15
(b) P=\$28,\\ Q=12

Exercícios relacionados