É montado um circuito elétrico que possui apenas um indutor de
, ou seja,
. Suponha que a força eletromotiz seja proveniente de um gerador de corrente alternada que produz uma tensão descrita por
, em que
e
são constantes positivas. Mostre que se a indutância estiver muito próxima de zero, o circuito irá queimar.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
- Dados do enunciado:
- O circuito contém apenas um indutor de indutância
(logo ). - A força eletromotriz aplicada é
, onde e são constantes.
- O circuito contém apenas um indutor de indutância
- O que o problema pede:
- Mostrar que, quando a indutância
estiver muito próxima de zero, o circuito “vai queimar”. Em termos físicos/matemáticos: mostrar que a corrente elétrica tende a valores muito grandes (explodir) quando , o que, na prática, provoca aquecimento e dano aos elementos reais do circuito.
- Mostrar que, quando a indutância
Passo 2
Escrever a equação que relaciona tensão no indutor e a corrente. Regra básica que precisamos usar (explicação didática):
- Para um indutor ideal vale a relação entre a tensão
nos terminais e a corrente que passa por ele:
Explicação: a indutância
mede a “inércia” elétrica à variação da corrente; a tensão é proporcional à taxa de variação temporal da corrente. Aqui
tem unidades de volts,
tem unidades de henry (H) e
tem unidades de ampère por segundo.
No nosso circuito não há outros elementos, logo pela Lei das Malhas (KVL) a tensão aplicada
é igual à tensão no indutor:
Passo 3
Resolver a equação diferencial pelo método mais direto (integração), passo a passo.
A equação é de primeira ordem e separável:
Dividindo por
e integrando em relação a
:
Integrando dos dois lados:
onde
é a constante de integração que depende da condição inicial
. Em forma mais limpa:
Comentário pedagógico: aqui foi usada a primitiva de
, que é
. A constante
é a corrente no instante em que se considera a integração; se o circuito for ligado num instante em que
, então
.
Passo 4
Determinar a amplitude da corrente e ver o comportamento quando
.
A parte oscilatória tem amplitude
Portanto a solução pode ser vista como uma senoide de amplitude
(mais a constante
). Agora analise o limite:
Isto significa que, matematicamente, conforme
fica cada vez menor, a amplitude da corrente cresce sem limite.
Explicação simples: o indutor oferece uma “impedância” à variação da corrente proporcional a
. Quanto menor
, menos oposição à rápida variação de corrente, então a mesma tensão produz uma corrente cada vez maior.
Passo 5
Interpretação pelo conceito de impedância (ideia alternativa, curta e intuitiva).
No regime senoidal estacionário (análise por fasores) a impedância de um indutor é
. O módulo desta impedância é
. A amplitude da corrente aplicada por uma tensão senoidal de amplitude
é
mesma expressão que obtivemos por integração. Novamente, quando
tem-se
e
.
Passo 6
Por que isso “queima” o circuito na prática — ligação matemática → consequência física.
- No circuito ideal com
e indutor ideal, a teoria diz que a corrente cresce sem limite quando . Porém um circuito físico nunca é ideal: os fios, o gerador e conexões têm resistências (mesmo que pequenas) e o gerador tem resistência interna . - Se houver uma resistência real
(mesmo pequena), a potência dissipada por aquecimento nessa resistência é
Como
pode ficar muito grande quando
é muito pequeno,
cresce muito e a potência dissipada também cresce, aquecendo fios, componentes e possivelmente queimando-os (fusão de condutores, derretimento de isolantes, queima de enrolamentos, disparo de dispositivos de proteção).
- Além disso, correntes muito altas podem danificar o próprio gerador (correntes de curto-circuito), causar centelhamento e outras falhas elétricas.
Resumo físico curto: embora o indutor ideal não dissipe energia, a realidade tem resistências que dissipam energia proporcional a
; portanto corrente muito alta causa aquecimento e dano — isto é o que se entende por “queimar” o circuito.
Passo 7
Exemplo numérico ilustrativo (para tornar concreto).
Escolhendo, por exemplo,
,
(50 Hz), e
, a amplitude da corrente seria
Uma corrente desta ordem destrói fios comuns e dispositivos de proteção instantaneamente. Isso ilustra que
pequeno leva a correntes absurdamente grandes na prática.
Passo 8
Observações finais e reforço didático (tom amigo).
- Matemática: a expressão exata da corrente é
, logo a amplitude é inversamente proporcional a . - Física prática: em um circuito real,
muito pequeno corresponde a quase curto-circuito para sinais alternados; a corrente grande produz aquecimento por nas resistências reais e assim “queima” componentes. - Conclusão lógica: portanto, se a indutância estiver muito próxima de zero (ou
), a corrente tende a valores muito grandes e o circuito, na prática, vai queimar.
Resposta
A corrente é
, com amplitude
. Como
, para
muito pequeno a corrente torna-se arbitrariamente grande; na prática isto provoca aquecimento e queima dos componentes (curto-circuito).