É montado um circuito elétrico que possui apenas um indutor de L(H), ou seja, R=0 \Omega. Suponha que a força eletromotiz seja proveniente de um gerador de corrente alternada que produz uma tensão descrita por E(t)=E \cdot \cos (\omega t), em que E e \omega são constantes positivas. Mostre que se a indutância estiver muito próxima de zero, o circuito irá queimar.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
  • Dados do enunciado:
    • O circuito contém apenas um indutor de indutância L (logo R=0\\ \Omega).
    • A força eletromotriz aplicada é E(t)=E\cdot\cos(\omega t), onde E>0 e \omega>0 são constantes.
  • O que o problema pede:
    • Mostrar que, quando a indutância L estiver muito próxima de zero, o circuito “vai queimar”. Em termos físicos/matemáticos: mostrar que a corrente elétrica tende a valores muito grandes (explodir) quando L\to 0, o que, na prática, provoca aquecimento e dano aos elementos reais do circuito.

Passo 2

Escrever a equação que relaciona tensão no indutor e a corrente. Regra básica que precisamos usar (explicação didática):
  • Para um indutor ideal vale a relação entre a tensão v_L(t) nos terminais e a corrente i(t) que passa por ele:
v_L(t) = L\,\frac{di}{dt}.
Explicação: a indutância L mede a “inércia” elétrica à variação da corrente; a tensão é proporcional à taxa de variação temporal da corrente. Aqui v_L(t) tem unidades de volts, L tem unidades de henry (H) e di/dt tem unidades de ampère por segundo.
No nosso circuito não há outros elementos, logo pela Lei das Malhas (KVL) a tensão aplicada E(t) é igual à tensão no indutor:
E\cos(\omega t) = L\,\frac{di}{dt}.

Passo 3

Resolver a equação diferencial pelo método mais direto (integração), passo a passo.
A equação é de primeira ordem e separável:
L\,\frac{di}{dt} = E\cos(\omega t).
Dividindo por L e integrando em relação a t:
\frac{di}{dt} = \frac{E}{L}\cos(\omega t).
Integrando dos dois lados:
i(t) = \int \frac{E}{L}\cos(\omega t)\,dt = \frac{E}{L}\cdot\frac{1}{\omega}\sin(\omega t) + C,
onde C é a constante de integração que depende da condição inicial i(0). Em forma mais limpa:
i(t) = \frac{E}{\omega L}\,\sin(\omega t) + C.
Comentário pedagógico: aqui foi usada a primitiva de \cos(\omega t), que é \frac{1}{\omega}\sin(\omega t). A constante C é a corrente no instante em que se considera a integração; se o circuito for ligado num instante em que i(0)=0, então C=0.

Passo 4

Determinar a amplitude da corrente e ver o comportamento quando L\to 0.
A parte oscilatória tem amplitude
I_{\text{máx}}=\frac{E}{\omega L}.á
Portanto a solução pode ser vista como uma senoide de amplitude \dfrac{E}{\omega L} (mais a constante C). Agora analise o limite:
\lim_{L\to 0^+}\frac{E}{\omega L} = +\infty.
Isto significa que, matematicamente, conforme L fica cada vez menor, a amplitude da corrente cresce sem limite.
Explicação simples: o indutor oferece uma “impedância” à variação da corrente proporcional a L. Quanto menor L, menos oposição à rápida variação de corrente, então a mesma tensão produz uma corrente cada vez maior.

Passo 5

Interpretação pelo conceito de impedância (ideia alternativa, curta e intuitiva).
No regime senoidal estacionário (análise por fasores) a impedância de um indutor é \,Z_L = i\omega L. O módulo desta impedância é \omega L. A amplitude da corrente aplicada por uma tensão senoidal de amplitude E é
I_{\text{amplitude}}=\frac{E}{|Z_L|}=\frac{E}{\omega L},
mesma expressão que obtivemos por integração. Novamente, quando L\to 0 tem-se Z_L\to 0 e I_{\text{amplitude}}\to\infty.

Passo 6

Por que isso “queima” o circuito na prática — ligação matemática → consequência física.
  • No circuito ideal com R=0 e indutor ideal, a teoria diz que a corrente cresce sem limite quando L\to 0. Porém um circuito físico nunca é ideal: os fios, o gerador e conexões têm resistências (mesmo que pequenas) e o gerador tem resistência interna R_{\text{int}}>0.
  • Se houver uma resistência real R_{\text{real}} (mesmo pequena), a potência dissipada por aquecimento nessa resistência é
P_{\text{diss}}(t)=i^2(t)\,R_{\text{real}}.
Como i(t) pode ficar muito grande quando L é muito pequeno, i^2(t) cresce muito e a potência dissipada também cresce, aquecendo fios, componentes e possivelmente queimando-os (fusão de condutores, derretimento de isolantes, queima de enrolamentos, disparo de dispositivos de proteção).
  • Além disso, correntes muito altas podem danificar o próprio gerador (correntes de curto-circuito), causar centelhamento e outras falhas elétricas.
Resumo físico curto: embora o indutor ideal não dissipe energia, a realidade tem resistências que dissipam energia proporcional a i^2; portanto corrente muito alta causa aquecimento e dano — isto é o que se entende por “queimar” o circuito.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (para tornar concreto).
Escolhendo, por exemplo, E=10\\ \text{V}, \omega=100\pi\\ \text{rad/s} (50 Hz), e L=10^{-6}\\ \text{H}, a amplitude da corrente seria
I_{\text{máx}}=\frac{10}{100\pi\cdot 10^{-6}}=\frac{10}{10^{-4}\pi}=\frac{10}{\pi}\cdot 10^{4}\approx 3{,}18\times 10^{4}\\ \text{A}.á
Uma corrente desta ordem destrói fios comuns e dispositivos de proteção instantaneamente. Isso ilustra que L pequeno leva a correntes absurdamente grandes na prática.

Passo 8

Observações finais e reforço didático (tom amigo).
  • Matemática: a expressão exata da corrente é \,i(t)=\dfrac{E}{\omega L}\sin(\omega t)+C, logo a amplitude é inversamente proporcional a L.
  • Física prática: em um circuito real, L muito pequeno corresponde a quase curto-circuito para sinais alternados; a corrente grande produz aquecimento por i^2R nas resistências reais e assim “queima” componentes.
  • Conclusão lógica: portanto, se a indutância estiver muito próxima de zero (ou L\to 0), a corrente tende a valores muito grandes e o circuito, na prática, vai queimar.

Resposta

A corrente é \displaystyle i(t)=\frac{E}{\omega L}\sin(\omega t)+C, com amplitude \displaystyle I_{\max}=\frac{E}{\omega L}. Como \displaystyle\lim_{L\to 0^+}\frac{E}{\omega L}=+\infty, para L muito pequeno a corrente torna-se arbitrariamente grande; na prática isto provoca aquecimento e queima dos componentes (curto-circuito).

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