Resolva cada equação diferencial ordinária linear de primeira ordem.
\quad y^{\prime}=\frac{\cos (y)}{\cos (x)}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y'=\frac{\cos(y)}{\cos(x)}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação é uma equação diferencial de primeira ordem envolvendo as funções trigonométricas \cos(y) e \cos(x).
  • Devemos obter a família geral de soluções (com constante arbitrária) e apontar soluções particulares se houver.
  • Importante: as expressões envolvem \cos(x) e \cos(y), então soluções serão válidas em intervalos onde esses denominadores não causem problemas (isto é, onde \cos x\neq0 e, quando necessário, \cos y\neq0).

Passo 2

Identificação do método: a equação é separável — isto significa que dá para escrever os termos envolvendo y multiplicando dy e os envolvendo x multiplicando dx, isolando cada variável de um lado. Vamos manipular a equação para separar as variáveis.
Começamos escrevendo a derivada como fração:
\frac{dy}{dx}=\frac{\cos(y)}{\cos(x)}.
Agora dividimos por \cos(y) e multiplicamos por dx para separar:
\frac{1}{\cos(y)}\,dy=\frac{1}{\cos(x)}\,dx.
Repare que \dfrac{1}{\cos(\cdot)}=\operatorname{sec}(\cdot), então temos
\operatorname{sec}(y)\,dy=\operatorname{sec}(x)\,dx.
Isto é exatamente a condição de separabilidade: uma integral só em y à esquerda e uma só em x à direita.

Passo 3

Integração de ambos os lados. Vamos integrar em cada lado:
\int \operatorname{sec}(y)\,dy = \int \operatorname{sec}(x)\,dx.
Neste ponto precisamos usar a integral conhecida de \operatorname{sec}. Vou explicar como obter a antiderivada de \operatorname{sec} u (útil para você decorar ou reproduzir na prova):
Fórmula (derivação): para \int \operatorname{sec} u\,du podemos multiplicar numerador e denominador por \operatorname{sec} u + \tan u e usar uma substituição:
\int \operatorname{sec} u\,du = \int \frac{\operatorname{sec} u(\operatorname{sec} u+\tan u)}{\operatorname{sec} u+\tan u}\,du = \int \frac{\operatorname{sec}^2 u + \operatorname{sec} u\tan u}{\operatorname{sec} u+\tan u}\,du.
Agora observe que o numerador é exatamente a derivada de \operatorname{sec} u+\tan u, porque
\frac{d}{du}(\operatorname{sec} u+\tan u)=\operatorname{sec} u\tan u + \operatorname{sec}^2 u.
Então a integral fica
\int \operatorname{sec} u\,du = \int \frac{(\operatorname{sec} u+\tan u)'}{\operatorname{sec} u+\tan u}\,du = \ln\big|\operatorname{sec} u+\tan u\big| + C.
Isso vale para u=y e para u=x.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso, integrando cada lado obtemos
\ln\big|\operatorname{sec}(y)+\tan(y)\big| = \ln\big|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\big| + C,
onde C é constante arbitrária de integração. Podemos simplificar tirando exponencial ou reunindo os logaritmos:
\ln\!\left|\frac{\operatorname{sec}(y)+\tan(y)}{\operatorname{sec}(x)+\tan(x)}\right|=C \quad\Longrightarrow\quad \frac{\operatorname{sec}(y)+\tan(y)}{\operatorname{sec}(x)+\tan(x)}=K,
onde K=e^{C} é uma constante positiva. Se preferir permitir constantes negativas, basta absorver o sinal em K (ou escrever K\in\mathbb{R}\setminus\{0\} e lembrar que o caso \operatorname{sec}(\cdot)+\tan(\cdot)=0 precisa ser tratado com cuidado). Assim uma forma compacta da família geral é
\operatorname{sec}(y)+\tan(y)=K\big(\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\big),
válida nos intervalos onde as expressões estão definidas (em particular \cos x\neq0 e \cos y\neq0 quando usar essa fórmula).

Passo 5

Se quiser uma expressão explícita para y em função de x, usamos a identidade de semissoma/semidiferença para transformar \operatorname{sec} y+\tan y em função de \tan(y/2). Com t=\tan(y/2) valem
\operatorname{sec} y+\tan y=\frac{1+\sin y}{\cos y}=\frac{1+t}{1-t}.
Portanto, se definirmos
A(x):=K\big(\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\big),
temos
\frac{1+\tan(y/2)}{1-\tan(y/2)}=A(x).
Resolvendo para \tan(y/2):
1+\tan\frac{y}{2}=A(1-\tan\frac{y}{2}) \quad\Rightarrow\quad \tan\frac{y}{2}\big(1+A\big)=A-1 \quad\Rightarrow\quad \tan\frac{y}{2}=\frac{A-1}{A+1}.
Voltando a y,
y(x)=2\arctan\!\left(\frac{K(\operatorname{sec} x+\tan x)-1}{K(\operatorname{sec} x+\tan x)+1}\right).
Esta é uma forma explícita da solução, válida quando o denominador \,K(\operatorname{sec} x+\tan x)+1\neq0 e em intervalos onde as funções inversas estão bem definidas.

Passo 6

Soluções especiais e domínio:
  • As soluções acima exigem que \cos x\neq0 (senão a equação original não está bem definida) e que \cos y\neq0 quando usamos a forma com \operatorname{sec} y. Portanto a solução é considerada por intervalos onde \cos x não se anula.
  • Há soluções constantes especiais que não aparecem na forma \operatorname{sec} y+\tan y (porque aí \operatorname{sec} y é indefinido): se y(x)\equiv y_0 constante, então y'=0 e a equação exige \cos(y_0)/\cos(x)=0. Para \cos(x)\neq0 isso força \cos(y_0)=0, ou seja
y(x)\equiv \frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
são soluções constantes válidas (em intervalos onde \cos x\neq0). Essas soluções não são obtidas diretamente de \operatorname{sec} y+\tan y=K(\operatorname{sec} x+\tan x) porque aí \operatorname{sec}(y_0) não existe; por isso convém registrá-las separadamente.

Resposta

\operatorname{sec}(y)+\tan(y)=K\big(\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\big),\quad K\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.\n
y(x)=2\arctan\!\left(\dfrac{K(\operatorname{sec} x+\tan x)-1}{K(\operatorname{sec} x+\tan x)+1}\right)
\text{Soluções constantes: }y\equiv \tfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.çõ

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