Resolva cada equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. \quad y^{\prime}=\frac{\cos (y)}{\cos (x)}.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y'=\frac{\cos(y)}{\cos(x)}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
A incógnita é a função y(x).
A equação é uma equação diferencial de primeira ordem envolvendo as funções trigonométricas \cos(y) e \cos(x).
Devemos obter a família geral de soluções (com constante arbitrária) e apontar soluções particulares se houver.
Importante: as expressões envolvem \cos(x) e \cos(y), então soluções serão válidas em intervalos onde esses denominadores não causem problemas (isto é, onde \cos x\neq0 e, quando necessário, \cos y\neq0).
Passo 2
Identificação do método: a equação é separável — isto significa que dá para escrever os termos envolvendo y multiplicando dy e os envolvendo x multiplicando dx, isolando cada variável de um lado. Vamos manipular a equação para separar as variáveis.
Começamos escrevendo a derivada como fração:
\frac{dy}{dx}=\frac{\cos(y)}{\cos(x)}.
Agora dividimos por \cos(y) e multiplicamos por dx para separar:
\frac{1}{\cos(y)}\,dy=\frac{1}{\cos(x)}\,dx.
Repare que \dfrac{1}{\cos(\cdot)}=\operatorname{sec}(\cdot), então temos
Neste ponto precisamos usar a integral conhecida de \operatorname{sec}. Vou explicar como obter a antiderivada de \operatorname{sec} u (útil para você decorar ou reproduzir na prova):
Fórmula (derivação): para \int \operatorname{sec} u\,du podemos multiplicar numerador e denominador por \operatorname{sec} u + \tan u e usar uma substituição:
onde K=e^{C} é uma constante positiva. Se preferir permitir constantes negativas, basta absorver o sinal em K (ou escrever K\in\mathbb{R}\setminus\{0\} e lembrar que o caso \operatorname{sec}(\cdot)+\tan(\cdot)=0 precisa ser tratado com cuidado). Assim uma forma compacta da família geral é
válida nos intervalos onde as expressões estão definidas (em particular \cos x\neq0 e \cos y\neq0 quando usar essa fórmula).
Passo 5
Se quiser uma expressão explícita para y em função de x, usamos a identidade de semissoma/semidiferença para transformar \operatorname{sec} y+\tan y em função de \tan(y/2). Com t=\tan(y/2) valem
Esta é uma forma explícita da solução, válida quando o denominador \,K(\operatorname{sec} x+\tan x)+1\neq0 e em intervalos onde as funções inversas estão bem definidas.
Passo 6
Soluções especiais e domínio:
As soluções acima exigem que \cos x\neq0 (senão a equação original não está bem definida) e que \cos y\neq0 quando usamos a forma com \operatorname{sec} y. Portanto a solução é considerada por intervalos onde \cos x não se anula.
Há soluções constantes especiais que não aparecem na forma \operatorname{sec} y+\tan y (porque aí \operatorname{sec} y é indefinido): se y(x)\equiv y_0 constante, então y'=0 e a equação exige \cos(y_0)/\cos(x)=0. Para \cos(x)\neq0 isso força \cos(y_0)=0, ou seja
são soluções constantes válidas (em intervalos onde \cos x\neq0). Essas soluções não são obtidas diretamente de \operatorname{sec} y+\tan y=K(\operatorname{sec} x+\tan x) porque aí \operatorname{sec}(y_0) não existe; por isso convém registrá-las separadamente.