Resolva as equações diferenciais de primeira ordem separáveis.
\frac{d x}{d t}=t x^{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{d x}{d t}=t x^{2},
onde t é a variável independente e x é a função desconhecida x(t). Não foi dado nenhum valor inicial, então o objetivo é obter a solução geral (todas as soluções possíveis) da equação.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A equação relaciona a derivada de x com t e x por \dfrac{dx}{dt}=t x^{2}.
  • Não há condição inicial fornecida.
  • Precisa-se da solução geral, incluindo possíveis soluções constantes especiais.

Passo 2

Vamos rearranjar a equação para separar os termos que contêm x dos termos que contêm t (colocar tudo com x de um lado e tudo com t do outro). Isso é feito assim:
\frac{dx}{dt}=t x^{2}
Dividindo ambos os lados por x^{2} (atenção: isso exige x\neq 0; a solução x\equiv 0 será tratada separadamente) e multiplicando por dt, obtemos
\frac{dx}{x^{2}}=t\,dt.
Agora a variável x aparece só no lado esquerdo e t só no direito — prontos para integrar.

Passo 3

Integramos os dois lados. Vou explicar as integrais usadas:
  • Para o lado esquerdo, \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}}=\int x^{-2}\,dx. A regra de potência diz que \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aqui n=-2, portanto
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}=-\frac{1}{x}.
  • Para o lado direito, \displaystyle \int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}.
Assim, ao integrar ambos os lados obtemos
-\frac{1}{x}=\frac{t^{2}}{2}+C,
onde C é a constante de integração (constante real arbitrária).

Passo 4

Agora isolamos x. Primeiro multiplico por -1:
\frac{1}{x}=-\frac{t^{2}}{2}-C.
É mais prático renomear a constante: defina C_{1}=-C. Então
\frac{1}{x}=C_{1}-\frac{t^{2}}{2}.
Tomando recíproco (novamente exigindo x\neq 0 e que o denominador seja não nulo), obtemos a família de soluções
x(t)=\frac{1}{C_{1}-\dfrac{t^{2}}{2}}.
Aqui C_{1} é uma constante arbitrária real (determina a solução particular).

Passo 5

Tratamento da solução constante excluída antes: se x(t)\equiv 0, então \dfrac{dx}{dt}=0 e a equação vira 0=t\cdot 0^{2}=0, que é verdadeira para todo t. Logo x\equiv 0 é uma solução válida que não aparece na forma obtida ao dividir por x^{2}. Devemos incluí-la explicitamente entre as soluções.

Passo 6

Comentários sobre domínio e condições iniciais (úteis para provas e aplicações):
  • A solução x(t)=\dfrac{1}{C_{1}-\tfrac{t^{2}}{2}} só está definida para t tais que o denominador não seja zero, ou seja, para t com
C_{1}-\frac{t^{2}}{2}\neq 0.
Se C_{1}>0 existe t=\pm\sqrt{2C_{1}} onde a solução tem singularidade (explodirá). Assim a solução vale em intervalos máximos que não atravessam essas singularidades.
  • Se houver uma condição inicial x(t_{0})=x_{0} com x_{0}\neq 0, determina-se C_{1} substituindo:
\frac{1}{x_{0}}=C_{1}-\frac{t_{0}^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=\frac{1}{x_{0}}+\frac{t_{0}^{2}}{2}.
Exemplo rápido: se x(0)=1 então C_{1}=1 e x(t)=\dfrac{1}{1-\tfrac{t^{2}}{2}}, definida enquanto 1-\tfrac{t^{2}}{2}\neq 0 (ou seja |t|\neq\sqrt{2}).

Passo 7

Resumo do método (para você aplicar rápido na prova): 1) separar variáveis colocando termos em x com dx e termos em t com dt; 2) integrar ambos os lados usando a regra de potência; 3) isolar x e lembrar de incluir soluções constantes que foram excluídas pela divisão. Pronto — receita simples e repetível.

Resposta

x(t)=\frac{1}{C-\dfrac{t^{2}}{2}},\quad C\\ \text{constante real arbitrária}á
x(t)\equiv 0

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