Resolva as equações diferenciais de primeira ordem separáveis.
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece a equação diferencial
onde
é a variável independente e
é a função desconhecida
. Não foi dado nenhum valor inicial, então o objetivo é obter a solução geral (todas as soluções possíveis) da equação.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A equação relaciona a derivada de
com e por . - Não há condição inicial fornecida.
- Precisa-se da solução geral, incluindo possíveis soluções constantes especiais.
Passo 2
Vamos rearranjar a equação para separar os termos que contêm
dos termos que contêm
(colocar tudo com
de um lado e tudo com
do outro). Isso é feito assim:
Dividindo ambos os lados por
(atenção: isso exige
; a solução
será tratada separadamente) e multiplicando por
, obtemos
Agora a variável
aparece só no lado esquerdo e
só no direito — prontos para integrar.
Passo 3
Integramos os dois lados. Vou explicar as integrais usadas:
- Para o lado esquerdo,
. A regra de potência diz que para . Aqui , portanto
- Para o lado direito,
.
Assim, ao integrar ambos os lados obtemos
onde
é a constante de integração (constante real arbitrária).
Passo 4
Agora isolamos
. Primeiro multiplico por
:
É mais prático renomear a constante: defina
. Então
Tomando recíproco (novamente exigindo
e que o denominador seja não nulo), obtemos a família de soluções
Aqui
é uma constante arbitrária real (determina a solução particular).
Passo 5
Tratamento da solução constante excluída antes: se
, então
e a equação vira
, que é verdadeira para todo
. Logo
é uma solução válida que não aparece na forma obtida ao dividir por
. Devemos incluí-la explicitamente entre as soluções.
Passo 6
Comentários sobre domínio e condições iniciais (úteis para provas e aplicações):
- A solução
só está definida para tais que o denominador não seja zero, ou seja, para com
Se
existe
onde a solução tem singularidade (explodirá). Assim a solução vale em intervalos máximos que não atravessam essas singularidades.
- Se houver uma condição inicial
com , determina-se substituindo:
Exemplo rápido: se
então
e
, definida enquanto
(ou seja
).
Passo 7
Resumo do método (para você aplicar rápido na prova): 1) separar variáveis colocando termos em
com
e termos em
com
; 2) integrar ambos os lados usando a regra de potência; 3) isolar
e lembrar de incluir soluções constantes que foram excluídas pela divisão. Pronto — receita simples e repetível.