Monte (mas não calcule) uma integral tripla iterada para o volume do sólido compreendido pelas superfícies dadas.
O cilindro elíptico x^2+9 y^2=9 e os planos z=0 e z=x+3.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro elíptico x^2+9y^2=9 e pelos planos z=0 e z=x+3. O conteúdo é integral tripla para volume e vamos precisar projetar a região no plano xy e encontrar os limites de integração.

Passo 2

A projeção da região sólida no plano xy é a região D dada por x^2+9y^2<=9, ou seja, a elipse x^2/9+y^2/1=1.
Vamos usar ordem de integração dz,dy,dx. Para um ponto fixo (x,y) em D, o plano inferior é z=0 e o superior é z=x+3. Assim, 0<= z<= x+3.

Passo 3

Para cada valor de x, a condição x^2+9y^2<=9 9y^2<=9-x^2, ou seja, y^2<=tfrac9-x^29. Logo
-raiztfrac9-x^29<= y<= raiztfrac9-x^29
Como x^2<=9, temos -3<= x<=3.
Reunindo tudo, a integral tripla iterada para o volume é:
V=integralx=-3^3integraly=-raiz9-x^23^raiz9-x^23integralz=0^x+3dz,dy,dx

Resposta

V=integral-3^3integral-raiz9-x^23^raiz9-x^23integral0^x+3dz,dy,dx

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