Calcule as integrais definidas:
integral0^pi / 2 cos (ln (x))x d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
integral0^pi2 cos(ln(x))x , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integração por substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = ln(x)
Isso significa que estamos substituindo a expressão ln(x) por u. Agora, precisamos encontrar du em termos de dx:
dudx = 1x Rightarrow du = 1x , dx
Perceba que 1x , dx aparece exatamente na nossa integral original. Isso vai facilitar a substituição.

Passo 3

Agora, vamos substituir u e du na integral:
integral cos(ln(x))x , dx = integral cos(u) , du
Isso simplificou bastante a integral! Agora, precisamos ajustar os limites de integração devido à substituição que fizemos.

Passo 4

Vamos ajustar os limites de integração. Originalmente, os limites eram de x = 0 a x = pi2. Com a substituição u = ln(x), vamos encontrar os novos limites:
  • Quando x = 0:
    u = ln(0) (o que tende a) -infty
  • Quando x = pi2:
    u = ln(pi2)
Então, a integral passa a ser:
integral-infty^ln(pi2) cos(u) , du

Passo 5

Agora, vamos integrar cos(u):
integral cos(u) , du = sin(u) + C
Aplicando os limites de integração:
sin(u) |-infty^ln(pi2) = sin(ln(pi2)) - limu to -infty sin(u)
Aqui, observamos que sin(u) oscila entre -1 e 1 à medida que u tende a -infty. Isso significa que o limite limu to -infty sin(u) não existe, pois a função não se aproxima de um valor específico.

Resposta

Como o limite limu to -infty sin(u) não existe devido às oscilações contínuas da função seno, a integral definida
integral0^pi2 cos(ln(x))x , dx
não converge. Portanto, a integral não possui um valor definido e não converge.

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