Um certo sistema mola-massa satisfaz ao problema de valor inicial
, onde
e
é um parâmetro.
Plote a solução para
e
. Descreva as principais características da solução e sua variação com
.
Plote a solução para
Passo 1
O problema é uma equação diferencial linear de segunda ordem com amortecimento e forçante em forma de pulso:
,
, onde
. Vamos usar teoria de sistemas LTI, transformada de Laplace e convolução para resolver.
Passo 2
Como o sistema é linear e invariante, sua solução pode ser escrita pela convolução de
com a resposta ao impulso
do sistema:
Passo 3
Para encontrar
, fazemos a transformada de Laplace de
. Os pólos são
, gerando
Passo 4
Substituindo
na convolução, obtemos solução por partes:
– Para :
.
– Para :
.
– Para : (u(t)=k\Bigl[\int_0{t-3/2}h(\xi)d\xi-\int_0{t-5/2}h(\xi)d\xi\Bigr].]
– Para
– Para
– Para
Passo 5
Fazendo as integrais dos exponenciais, temos explicitamente
o que dá a expressão completa de
Passo 6
No gráfico de
, para
e
:
– Antes de o sistema está em repouso (
).
– De até
há um crescimento monótono, sem oscilações (sistema sobremortecido), aproximando‐se de
.
– Após o forçamento cessa e
decai exponencialmente a zero, com constantes de tempo
e
.
– Ao comparar e
, a forma do pulso é idêntica e os tempos de subida/queda não mudam, apenas a amplitude dobra.
– Antes de
– De
– Após
– Ao comparar
Passo 7
Para plotar, basta avaliar as fórmulas acima em cada intervalo para
e
e traçar
.
Resposta
A solução é nula até t=1.5 s; de 1.5 s a 2.5 s cresce monotonicamente sem oscilações (sistema sobremortecido) aproximando‐se de k; após 2.5 s decai exponencialmente a zero. As constantes de tempo são dadas pelos polos –2±√3, e a amplitude da resposta escala linearmente com k: ao dobrar k a curva dobra de amplitude, mas mantém forma e tempos inalterados.