Um certo sistema mola-massa satisfaz ao problema de valor inicial u^prime prime+4 u^prime+u=k g(t), u(0)=0, u^prime(0)=0, onde g(t)=u32(t)-u52(t) e k>0 é um parâmetro.
Plote a solução para k=1 e k=2. Descreva as principais características da solução e sua variação com k.

Passo 1

O problema é uma equação diferencial linear de segunda ordem com amortecimento e forçante em forma de pulso: u''+4u'+u=k,g(t), u(0)=u'(0)=0, onde g(t)=H(t-3/2)-H(t-5/2). Vamos usar teoria de sistemas LTI, transformada de Laplace e convolução para resolver.

Passo 2

Como o sistema é linear e invariante, sua solução pode ser escrita pela convolução de g(t) com a resposta ao impulso h(t) do sistema:
u(t)=kintegral0^t h(t-tau),g(tau),dtau

Passo 3

Para encontrar h(t), fazemos a transformada de Laplace de 1/(s^2+4s+1). Os pólos são -2pmraiz3, gerando
h(t)=e^(-2+raiz3)t-e^(-2-raiz3)t2raiz3, t>=0

Passo 4

Substituindo g(tau)=H(tau-3/2)-H(tau-5/2) na convolução, obtemos solução por partes:
– Para t<3/2: u(t)=0.
– Para 3/2<= t<5/2: u(t)=kintegral0^t-3/2h(xi)dxi.
– Para t>=5/2: (u(t)=k\Bigl[\int_0{t-3/2}h(\xi)d\xi-\int_0{t-5/2}h(\xi)d\xi\Bigr].]

Passo 5

Fazendo as integrais dos exponenciais, temos explicitamente
integral0^tau h(xi)dxi=1-e^-2taul[(2/raiz3)sinh(raiz3,tau)+cosh(raiz3,tau)r]1,
o que dá a expressão completa de u(t) em cada intervalo.

Passo 6

No gráfico de u(t), para k=1 e k=2:
– Antes de t=1.5 o sistema está em repouso ( u=0).
– De 1.5 até 2.5 há um crescimento monótono, sem oscilações (sistema sobremortecido), aproximando‐se de k.
– Após t=2.5 o forçamento cessa e u(t) decai exponencialmente a zero, com constantes de tempo 1/(2+raiz3) e 1/(2-raiz3).
– Ao comparar k=1 e k=2, a forma do pulso é idêntica e os tempos de subida/queda não mudam, apenas a amplitude dobra.

Passo 7

Para plotar, basta avaliar as fórmulas acima em cada intervalo para k=1 e k=2 e traçar u(t).

Resposta

A solução é nula até t=1.5 s; de 1.5 s a 2.5 s cresce monotonicamente sem oscilações (sistema sobremortecido) aproximando‐se de k; após 2.5 s decai exponencialmente a zero. As constantes de tempo são dadas pelos polos –2±√3, e a amplitude da resposta escala linearmente com k: ao dobrar k a curva dobra de amplitude, mas mantém forma e tempos inalterados.

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