Monte a tabela de multiplicação do
, utilizando o elemento A como geratriz. Existem subgrupos? Identifique-os.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Ele quer que a gente monte a tabela de multiplicação do grupo
G₅ = {E, A, B, C, D}
sabendo que A é o gerador (ou seja, todo mundo é potência de A). Depois, temos que ver se tem subgrupos e quais são.
Conteúdo: grupos cíclicos, tabela de multiplicação e subgrupos de grupos cíclicos (teoria de divisores de ordem). Vai ser preciso usar a ideia de “A^k” e soma de expoentes módulo 5.
G₅ = {E, A, B, C, D}
sabendo que A é o gerador (ou seja, todo mundo é potência de A). Depois, temos que ver se tem subgrupos e quais são.
Conteúdo: grupos cíclicos, tabela de multiplicação e subgrupos de grupos cíclicos (teoria de divisores de ordem). Vai ser preciso usar a ideia de “A^k” e soma de expoentes módulo 5.
Passo 2
Como A é gerador de G₅, cada elemento dá pra escrever como
E = A⁰,
A = A¹,
B = A²,
C = A³,
D = A⁴.
E o produto em grupo cíclico segue a regra
A^i · A^j = A^{(i+j) mod 5}.
Isso já dá a lógica pra montar a tabela: basta somar os índices e reduzir módulo 5.
E = A⁰,
A = A¹,
B = A²,
C = A³,
D = A⁴.
E o produto em grupo cíclico segue a regra
A^i · A^j = A^{(i+j) mod 5}.
Isso já dá a lógica pra montar a tabela: basta somar os índices e reduzir módulo 5.
Passo 3
Vamos montar linha a linha (índices em módulo 5). Ordenação: (E, A, B, C, D) corresponde a (A⁰, A¹, A², A³, A⁴).
· | E A B C D
—±-------------------------------
E | A⁰ A¹ A² A³ A⁴
A | A¹ A² A³ A⁴ A⁰
B | A² A³ A⁴ A⁰ A¹
C | A³ A⁴ A⁰ A¹ A²
D | A⁴ A⁰ A¹ A² A³
—±-------------------------------
E | A⁰ A¹ A² A³ A⁴
A | A¹ A² A³ A⁴ A⁰
B | A² A³ A⁴ A⁰ A¹
C | A³ A⁴ A⁰ A¹ A²
D | A⁴ A⁰ A¹ A² A³
Agora só substituir A⁰=E, A¹=A, A²=B, A³=C, A⁴=D:
· | E A B C D
—±-----------------
E | E A B C D
A | A B C D E
B | B C D E A
C | C D E A B
D | D E A B C
—±-----------------
E | E A B C D
A | A B C D E
B | B C D E A
C | C D E A B
D | D E A B C
Passo 4
Sobre subgrupos:
Teoria diz que, num grupo cíclico de ordem 5 (que é primo), os únicos divisores de 5 são 1 e 5. Então os possíveis subgrupos têm ordem 1 e 5.
Teoria diz que, num grupo cíclico de ordem 5 (que é primo), os únicos divisores de 5 são 1 e 5. Então os possíveis subgrupos têm ordem 1 e 5.
- Ordem 1 → só o subgrupo trivial {E}.
- Ordem 5 → o próprio G₅.
Não há mais nenhum.
Resposta
Tabela de multiplicação de G₅:
· | E A B C D
—±-----------------
E | E A B C D
A | A B C D E
B | B C D E A
C | C D E A B
D | D E A B C
—±-----------------
E | E A B C D
A | A B C D E
B | B C D E A
C | C D E A B
D | D E A B C
Subgrupos de G₅:
{E} e G₅ inteiro (não existem outros, pois 5 é primo).
{E} e G₅ inteiro (não existem outros, pois 5 é primo).