Os moradores de uma certa comunidade decidiram interromper a fluorização da água local. Atualmente, o reservatório local contém 200 milhões de litros de água fluorizada que contém 1.600 Kg de flúor. A água está sendo usada a uma taxa de 4 milhões de litros por dia e está sendo substiutída a uma mesma taxa por água não fluorizada, e o flúor restante é sempre redistribuído uniformemente no reservatório. Expresse a quantidade de flúor no reservatório em função do tempo. Quanto tempo levará para que a quantidade de flúor no reservatório esteja reduzida à metade?

Passo 1

O enunciado trata de um problema de mistura (reservatório bem misturado) em que temos um volume constante de água fluorizada e entra água sem flúor à mesma taxa que sai. O volume do reservatório é 200 milhões de litros, a vazão de entrada e saída é 4 milhões de litros por dia, e a quantidade inicial de flúor é 1600 kg. Vamos usar a modelagem por equação diferencial de primeira ordem para mistura.

Passo 2

Seja Q(t) a quantidade de flúor (em kg) no reservatório ao tempo t (em dias). A taxa de entrada de flúor é zero (água pura) e a taxa de saída é a concentração no reservatório vezes a vazão de saída:
concentração = Q(t)200, vazão = 4 çãã
em milhões de litros (as unidades “milhões” cancelam). Logo a equação é
dQdt = 0 - Q(t)200cdot 4 = -4200,Q(t) = -150,Q(t)

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial separável
dQQ = -150,dt
integramos e obtemos
ln Q = -t50 + C
Aplicando a condição inicial Q(0)=1600, vem C=ln(1600). Assim
Q(t) = 1600,e^-t/50

Passo 4

Para achar o tempo de meia-vida t1/2, impomos Q(t1/2)=800:
800 = 1600,e^-t1/2/50 Longrightarrow e^-t1/2/50=tfrac12 Longrightarrow -t1/250 = ln!l(tfrac12r) = -ln2
portanto
t1/2 = 50,ln2 approx 34,7 dias

Resposta

Q(t) = 1600,e^-t/50
t1/2 = 50,ln2 approx 34,7 dias

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