Os moradores de uma certa comunidade decidiram interromper a fluorização da água local. Atualmente, o reservatório local contém 200 milhões de litros de água fluorizada que contém 1.600 Kg de flúor. A água está sendo usada a uma taxa de 4 milhões de litros por dia e está sendo substiutída a uma mesma taxa por água não fluorizada, e o flúor restante é sempre redistribuído uniformemente no reservatório. Expresse a quantidade de flúor no reservatório em função do tempo. Quanto tempo levará para que a quantidade de flúor no reservatório esteja reduzida à metade?
Passo 1
O enunciado trata de um problema de mistura (reservatório bem misturado) em que temos um volume constante de água fluorizada e entra água sem flúor à mesma taxa que sai. O volume do reservatório é
milhões de litros, a vazão de entrada e saída é
milhões de litros por dia, e a quantidade inicial de flúor é
kg. Vamos usar a modelagem por equação diferencial de primeira ordem para mistura.
Passo 2
Seja
a quantidade de flúor (em kg) no reservatório ao tempo
(em dias). A taxa de entrada de flúor é zero (água pura) e a taxa de saída é a concentração no reservatório vezes a vazão de saída:
em milhões de litros (as unidades “milhões” cancelam). Logo a equação é
Passo 3
Resolvendo a equação diferencial separável
integramos e obtemos
Aplicando a condição inicial
, vem
. Assim
Passo 4
Para achar o tempo de meia-vida
, impomos
:
portanto