Um morro possui forma definida pelo gráfico de
Se o alpinista se mover na direção do vetor
, ele estará subindo ou descendo? Qual a taxa?
Passo 1
O enunciado define um morro pela função f(x,y)=100−4x²−5y², e pede para saber se, ao mover-se na direção do vetor v=⟨1,2⟩, o alpinista sobe ou desce e qual a taxa dessa variação. O assunto aqui é derivada direcional, que usamos para medir a taxa de variação de f numa certa direção, e vamos precisar do gradiente de f e de uma versão unitária de v.
Passo 2
Para encontrar o gradiente de f, lembramos que ∇f(x,y) reúne as derivadas parciais: ∇f(x,y)=⟨∂f/∂x,∂f/∂y⟩. Cálculo: ∂f/∂x=−8x e ∂f/∂y=−10y. Logo
[
∇f(x,y)=⟨−8x,−10y⟩
],
[
∇f(x,y)=⟨−8x,−10y⟩
],
Passo 3
O vetor direção v deve ser normalizado para virar um vetor unitário u. Como v=⟨1,2⟩, seu comprimento é √(1²+2²)=√5, então
[
u=1/√5⟨1,2⟩
],
[
u=1/√5⟨1,2⟩
],
Passo 4
A derivada direcional de f na direção de u é o produto escalar entre ∇f e u: D_uf(x,y)=∇f(x,y)·u. Substituindo os valores temos
[
D_uf(x,y)=⟨−8x,−10y⟩·(1/√5⟨1,2⟩)= (−8x·1 + −10y·2)/√5 = (−8x−20y)/√5
],
[
D_uf(x,y)=⟨−8x,−10y⟩·(1/√5⟨1,2⟩)= (−8x·1 + −10y·2)/√5 = (−8x−20y)/√5
],
Passo 5
Para interpretar: se D_uf>0, f aumenta nessa direção (subida); se D_uf<0, f diminui (descida); se D_uf=0, não há variação naquele instante.
Passo 6
final_answer":“A taxa de variação de f na direção de v=⟨1,2⟩ é
. O alpinista estará subindo se esse valor for positivo e descendo se for negativo.”