(a) Determine o valor da constante b para que o gráfico de y=x^2+b x+15 tenha uma reta tangente horizontal no ponto (1, b+16).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor da constante b de modo que a parábola y = x^2 + b x + 15 tenha uma reta tangente horizontal no ponto (1, b+16). Vamos usar derivadas para obter a inclinação da tangente e aplicar a condição de horizontalidade (inclinação nula).

Passo 2

Primeiro, verificamos se o ponto (1, b+16) realmente pertence ao gráfico de y = x^2 + b x + 15. Substituindo x = 1 na função, temos:
f(1) = 1^2 + bcdot1 + 15 = 1 + b + 15 = b + 16
Ou seja, para qualquer b, o ponto dado está sobre a curva, então não impõe restrição extra.

Passo 3

Para ter tangente horizontal, a derivada de y em relação a x deve ser zero no ponto. Calculamos a derivada:
f'(x) = ddxl(x^2 + b x + 15r) = 2x + b
Em x = 1, a inclinação da tangente é
f'(1) = 2cdot1 + b = 2 + b
Aplicamos a condição de tangente horizontal: f'(1)=0.

Passo 4

Igualando a derivada a zero, obtemos:
2 + b = 0
Assim,
b = -2

Passo 5

Concluímos que o valor de b que garante reta tangente horizontal no ponto (1, b+16) é -2.

Resposta

-2

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