(a) Determine o valor da constante
para que o gráfico de
tenha uma reta tangente horizontal no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor da constante
de modo que a parábola
tenha uma reta tangente horizontal no ponto
. Vamos usar derivadas para obter a inclinação da tangente e aplicar a condição de horizontalidade (inclinação nula).
Passo 2
Primeiro, verificamos se o ponto
realmente pertence ao gráfico de
. Substituindo
na função, temos:
Ou seja, para qualquer
, o ponto dado está sobre a curva, então não impõe restrição extra.
Passo 3
Para ter tangente horizontal, a derivada de
em relação a
deve ser zero no ponto. Calculamos a derivada:
Em
, a inclinação da tangente é
Aplicamos a condição de tangente horizontal:
.
Passo 4
Igualando a derivada a zero, obtemos:
Assim,
Passo 5
Concluímos que o valor de
que garante reta tangente horizontal no ponto
é
.
Resposta
-2