Uma mosca, pousada no chão, observa um pássaro em um ângulo de elevação de 45^{\circ}. Para chegar aonde está o pássaro, a mosca descreve um caminho curvo de um quarto de circunferência. Ela para em um ponto de sua rota e observa o pássaro em um ângulo de elevação de 37^{\circ}. Sabendo-se que o pássaro está a uma altura de 2,5 metros do chão, a que altura em metros, aproximadamente, a mosca está nesse ponto? Considere \operatorname{tg} 37^{\circ} \cong 0,75.
a) 0,50 .
b) 0,55 .
c) 0,62 .
d) 0,70 .

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista das informações relevantes):
  • A mosca está inicialmente pousada no chão (altura zero) e vê o pássaro com ângulo de elevação de 45^\circ.
  • Depois a mosca descreve um caminho que é um quarto de circunferência (ou seja, uma arco de 90^\circ) cujo extremo final é a posição do pássaro.
  • Ela para em um ponto da rota (um ponto intermediário do arco) e vê o pássaro com ângulo de elevação de 37^\circ.
  • A altura do pássaro em relação ao chão é 2{,}5 metros.
  • Foi dado que \tan 37^\circ \cong 0{,}75.
    O que se pede: a altura, em metros, da mosca nesse ponto em que ela observa o pássaro com \;37^\circ.

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas e colocar os pontos de forma conveniente (explico o porquê).
  • Coloco o pássaro no ponto B=(0,\,2{,}5) (mesma abscissa zero, altura 2{,}5).
  • Como no início a mosca está no chão e vê o pássaro com ângulo 45^\circ, vale \tan 45^\circ =1. A definição de tangente num triângulo retângulo é razão “altura sobre distância horizontal”. Assim a distância horizontal entre a mosca no chão e a projeção vertical do pássaro é igual à altura do pássaro.
  • Logo a posição inicial da mosca pode ser A=(-2{,}5,\,0) (ou seja, 2{,}5 metros à esquerda do pássaro, chão).
  • O enunciado diz que o arco de um quarto de circunferência vai de A até a posição do pássaro B. Note que os pontos A=(-2{,}5,0) e B=(0,2{,}5) estão ambos à distância 2{,}5 do ponto O=(0,0). Portanto a circunferência de centro O e raio R=2{,}5 passa por A e por B. Entre A e B esse arco é exatamente um quarto de circunferência (ângulo de 90^\circ).
  • Conclusão prática: a mosca, ao mover-se ao longo desse arco, descreve pontos (x,y) que satisfazem a equação da circunferência
x^{2}+y^{2}=R^{2},\qquad R=2{,}5.

Passo 3

Escrever a condição geométrica que liga o ponto P=(x,y) da circunferência (posição da mosca quando mede 37^\circ) à observação do pássaro.
  • A definição de ângulo de elevação \varphi: \tan\varphi é a razão entre a diferença vertical (altura do pássaro menos a altura do observador) e a distância horizontal entre eles. Aqui o pássaro está em B=(0,R) com R=2{,}5, e a mosca no ponto P=(x,y) com y\ge0.
  • Portanto
\tan\varphi=\frac{R-y}{|x-0|}=\frac{R-y}{|x|}.
  • No problema temos \varphi=37^\circ e foi dado \tan 37^\circ\cong0{,}75. Assim a condição é
\frac{R-y}{|x|}=0{,}75.
  • Como estamos no arco entre A e B, o ponto P fica à esquerda do eixo y (abscissa negativa), logo x\le0 e |x|=-x. Também vale x^{2}+y^{2}=R^{2}. Essas duas equações serão usadas para achar y.

Passo 4

Resolver as equações para encontrar y. Vou mostrar cada passo algébrico bem detalhado.
  • Partimos de
\frac{R-y}{\sqrt{R^{2}-y^{2}}}=0{,}75,
porque |x|=\sqrt{x^{2}}=\sqrt{R^{2}-y^{2}}.
  • Elevar ao quadrado (atenção a raízes e soluções extranhas; depois verificamos):
( R-y)^{2}=0{,}75^{2}\bigl(R^{2}-y^{2}\bigr).
  • Substituindo R=2{,}5 e desenvolvendo:
(2{,}5-y)^{2}=0{,}5625\,(6{,}25-y^{2}).
  • Expandindo o lado esquerdo:
6{,}25-5y+y^{2}=0{,}5625\cdot6{,}25-0{,}5625y^{2}.
  • Calcule 0{,}5625\cdot6{,}25=3{,}515625. Assim:
6{,}25-5y+y^{2}=3{,}515625-0{,}5625y^{2}.
  • Juntando termos iguais num só lado:
y^{2}+0{,}5625y^{2}-5y+6{,}25-3{,}515625=0.
1{,}5625\,y^{2}-5y+2{,}734375=0.
  • Para evitar decimais, multiplico por 16 (pois 1{,}5625=25/16):
25y^{2}-80y+43{,}75=0.
  • Multiplicando por 4 para eliminar o decimal final:
100y^{2}-320y+175=0.
  • Aplicando a fórmula de Bhaskara (ou calculando discriminante): discriminante
\Delta =(-320)^{2}-4\cdot100\cdot175=102400-70000=32400,
e \sqrt{\Delta}=180.
  • As raízes são
y=\frac{320\pm180}{200}.
  • Portanto
y=\frac{320+180}{200}=\frac{500}{200}=2{,}5
ou
y=\frac{320-180}{200}=\frac{140}{200}=0{,}7.
  • Interpretação: y=2{,}5 corresponde ao próprio pássaro (ponto B), solução trivial. A outra solução y=0{,}7 é a altura da mosca no ponto do arco onde ela vê o pássaro com \;37^\circ.

Passo 5

Conclusão numérica e escolha da alternativa.
  • A altura da mosca nesse ponto é y=0{,}7 metros, ou seja 0{,}70 m.
  • Na lista de alternativas isso corresponde à letra d).

Resposta

d) 0{,}70\\ \text{m}

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