Uma mosca, pousada no chão, observa um pássaro em um ângulo de elevação de
. Para chegar aonde está o pássaro, a mosca descreve um caminho curvo de um quarto de circunferência. Ela para em um ponto de sua rota e observa o pássaro em um ângulo de elevação de
. Sabendo-se que o pássaro está a uma altura de 2,5 metros do chão, a que altura em metros, aproximadamente, a mosca está nesse ponto? Considere
.
a) 0,50 .
b) 0,55 .
c) 0,62 .
d) 0,70 .
a) 0,50 .
b) 0,55 .
c) 0,62 .
d) 0,70 .
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (lista das informações relevantes):
- A mosca está inicialmente pousada no chão (altura zero) e vê o pássaro com ângulo de elevação de
. - Depois a mosca descreve um caminho que é um quarto de circunferência (ou seja, uma arco de
) cujo extremo final é a posição do pássaro. - Ela para em um ponto da rota (um ponto intermediário do arco) e vê o pássaro com ângulo de elevação de
. - A altura do pássaro em relação ao chão é
metros. - Foi dado que
.
O que se pede: a altura, em metros, da mosca nesse ponto em que ela observa o pássaro com.
Passo 2
Escolher um sistema de coordenadas e colocar os pontos de forma conveniente (explico o porquê).
- Coloco o pássaro no ponto
(mesma abscissa zero, altura ). - Como no início a mosca está no chão e vê o pássaro com ângulo
, vale . A definição de tangente num triângulo retângulo é razão “altura sobre distância horizontal”. Assim a distância horizontal entre a mosca no chão e a projeção vertical do pássaro é igual à altura do pássaro. - Logo a posição inicial da mosca pode ser
(ou seja, metros à esquerda do pássaro, chão). - O enunciado diz que o arco de um quarto de circunferência vai de
até a posição do pássaro . Note que os pontos e estão ambos à distância do ponto . Portanto a circunferência de centro e raio passa por e por . Entre e esse arco é exatamente um quarto de circunferência (ângulo de ). - Conclusão prática: a mosca, ao mover-se ao longo desse arco, descreve pontos
que satisfazem a equação da circunferência
Passo 3
Escrever a condição geométrica que liga o ponto
da circunferência (posição da mosca quando mede
) à observação do pássaro.
- A definição de ângulo de elevação
: é a razão entre a diferença vertical (altura do pássaro menos a altura do observador) e a distância horizontal entre eles. Aqui o pássaro está em com , e a mosca no ponto com . - Portanto
- No problema temos
e foi dado . Assim a condição é
- Como estamos no arco entre
e , o ponto fica à esquerda do eixo (abscissa negativa), logo e . Também vale . Essas duas equações serão usadas para achar .
Passo 4
Resolver as equações para encontrar
. Vou mostrar cada passo algébrico bem detalhado.
- Partimos de
porque
.
- Elevar ao quadrado (atenção a raízes e soluções extranhas; depois verificamos):
- Substituindo
e desenvolvendo:
- Expandindo o lado esquerdo:
- Calcule
. Assim:
- Juntando termos iguais num só lado:
- Para evitar decimais, multiplico por
(pois ):
- Multiplicando por
para eliminar o decimal final:
- Aplicando a fórmula de Bhaskara (ou calculando discriminante): discriminante
e
.
- As raízes são
- Portanto
ou
- Interpretação:
corresponde ao próprio pássaro (ponto ), solução trivial. A outra solução é a altura da mosca no ponto do arco onde ela vê o pássaro com .
Passo 5
Conclusão numérica e escolha da alternativa.
- A altura da mosca nesse ponto é
metros, ou seja m. - Na lista de alternativas isso corresponde à letra d).
Resposta
d)