Três profissionais, Aldo, Beto e Carlos, trabalhando juntos realizam uma trabalho em 4 dias. Aldo e Beto fazem esse mesmo trabalho em 7 dias. Aldo e Carlos fazem o mesmo trabalho juntos em 8 dias. Quanto tempo vão levar Beto e Carlos, trabalhando juntos para realizar o mesmo trabalho?
a) 4 \frac{1}{13} d i a.
b) 4 \frac{4}{13} dias.
c) 4 \frac{5}{13} dias .
d) 4 \frac{7}{13} d i a s.

Passo 1

O enunciado dá tempos em que grupos de profissionais realizam o mesmo trabalho e pede o tempo de um outro par de profissionais. Dados fornecidos:
  • Aldo, Beto e Carlos juntos fazem o trabalho em \,4\, dias.
  • Aldo e Beto juntos fazem o trabalho em \,7\, dias.
  • Aldo e Carlos juntos fazem o trabalho em \,8\, dias.
O que se pede:
  • Quanto tempo Beto e Carlos, trabalhando juntos, levam para realizar o mesmo trabalho?

Passo 2

Vamos representar o trabalho por uma unidade: o trabalho completo vale 1 (uma “obra”). Introdução ao raciocínio de taxas (explicação didática e tranquila):
  • Se alguém faz 1 trabalho em t dias, a sua taxa (ou rendimento) é \dfrac{1}{t} trabalho por dia.
  • As taxas se somam quando duas ou mais pessoas trabalham juntas: a taxa combinada é a soma das taxas individuais.
    Portanto, se chamarmos as taxas diárias de Aldo, Beto e Carlos por \,a,\;b,\;c (em trabalhos por dia), então o tempo em dias que um par demora é o recíproco da soma das respectivas taxas.

Passo 3

Escrever as equações correspondentes aos dados (cada igualdade é taxa total = 1 trabalho dividido pelo tempo):
a+b+c=\frac{1}{4}
a+b=\frac{1}{7}
a+c=\frac{1}{8}

Passo 4

Achar a taxa de Carlos isolando c. Subtraindo a segunda equação da primeira:
(a+b+c)-(a+b)=\frac{1}{4}-\frac{1}{7}
c=\frac{1}{4}-\frac{1}{7}.
Calcular a diferença com denominador comum 28:
c=\frac{7}{28}-\frac{4}{28}=\frac{3}{28}.
Logo \,c=\dfrac{3}{28} trabalho por dia.

Passo 5

Encontrar a taxa de Aldo usando a+c=\dfrac{1}{8}. Substituindo c:
a=\frac{1}{8}-c=\frac{1}{8}-\frac{3}{28}.
Colocando em denominador comum 56:
a=\frac{7}{56}-\frac{6}{56}=\frac{1}{56}.
Logo \,a=\dfrac{1}{56} trabalho por dia.

Passo 6

Encontrar a taxa de Beto usando a+b=\dfrac{1}{7}. Substituindo a:
b=\frac{1}{7}-a=\frac{1}{7}-\frac{1}{56}.
Denominador comum 56:
b=\frac{8}{56}-\frac{1}{56}=\frac{7}{56}=\frac{1}{8}.
Logo \,b=\dfrac{1}{8} trabalho por dia.

Passo 7

Calcular a taxa conjunta de Beto e Carlos:
b+c=\frac{1}{8}+\frac{3}{28}.
Colocando denominador comum 56:
b+c=\frac{7}{56}+\frac{6}{56}=\frac{13}{56}.
Portanto a taxa conjunta de Beto e Carlos é \dfrac{13}{56} trabalho por dia.

Passo 8

Tempo que Beto e Carlos levam é o recíproco da taxa conjunta:
\text{tempo}=\frac{1}{\,b+c\,}=\frac{1}{\tfrac{13}{56}}=\frac{56}{13}.
Converter \dfrac{56}{13} para número misto: 56=13\cdot4+4, logo
\frac{56}{13}=4\frac{4}{13}\\ \text{dias}.

Resposta

b) 4\frac{4}{13} dias

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