Um mastro foi erguido no centro de um pátio, cujo piso tem a forma de um paralelogramo. O topo desse mastro é visto com ângulos de elevação "
" e "
" de dois de seus vértices consecutivos. Que expressão matemática modela a relação entre as diagonais do paralelogramo?
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar ponto a ponto):
- O piso é um paralelogramo e o mastro está erguido no centro do paralelogramo.
- O topo do mastro tem altura desconhecida, denotada por
. - Dois vértices consecutivos do paralelogramo observam o topo do mastro com ângulos de elevação
e . - A pergunta: qual expressão entre as alternativas modela a relação entre as diagonais do paralelogramo (ou seja, alguma razão envolvendo os comprimentos das diagonais e
)?
Passo 2
Entender a geometria: no paralelogramo, as diagonais se cruzam no centro. Se chamarmos os comprimentos das duas diagonais de
e
, então a distância do centro a cada vértice é metade do comprimento da diagonal que passa por esse vértice. Em particular, para dois vértices consecutivos:
- a distância do centro ao vértice onde o ângulo de elevação é
vale (escolhendo a notação coerente), - a distância do centro ao vértice onde o ângulo de elevação é
vale .
Explicando por que: as diagonais têm extremidades em vértices opostos; o centro é o ponto médio das diagonais, portanto o segmento do centro ao vértice é metade da diagonal correspondente.
Passo 3
Lembrando a definição de tangente do ângulo de elevação: em um triângulo retângulo formado pelo mastro (altura
) e a linha do vértice ao centro (distância horizontal
), tem-se
Aplicando aos dois vértices:
- para o vértice com ângulo
: - para o vértice com ângulo
:
Passo 4
Agora fazemos a razão das tangentes para eliminar
e relacionar
e
. Dividindo as duas expressões:
Ou seja, a razão entre as tangentes é igual à razão entre as diagonais, tomando na ordem mostrada:
Passo 5
Interpretação para as alternativas: a alternativa que apresenta a razão das tangentes
corresponde exatamente à relação entre os comprimentos das diagonais (uma razão entre diagonais — conforme a ordem escolhida, obtém-se a igualdade acima). Essa expressão aparece na alternativa (a).
Força aí — a conta é direta: as diagonais aparecem apenas porque a distância do centro ao vértice é metade da diagonal, e a tangente é altura sobre essa distância, então as tangentes relacionam diretamente as diagonais.
Resposta
(a)