Um mastro foi erguido no centro de um pátio, cujo piso tem a forma de um paralelogramo. O topo desse mastro é visto com ângulos de elevação " \alpha " e " \theta " de dois de seus vértices consecutivos. Que expressão matemática modela a relação entre as diagonais do paralelogramo?
a) \operatorname{tg} \alpha / \operatorname{tg} \theta.
b) \operatorname{sen} \theta / \operatorname{sen} \alpha.
c) \cos \theta / \cos \alpha.
d) \cos \alpha / \cos \theta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar ponto a ponto):
  • O piso é um paralelogramo e o mastro está erguido no centro do paralelogramo.
  • O topo do mastro tem altura desconhecida, denotada por h.
  • Dois vértices consecutivos do paralelogramo observam o topo do mastro com ângulos de elevação \alpha e \theta.
  • A pergunta: qual expressão entre as alternativas modela a relação entre as diagonais do paralelogramo (ou seja, alguma razão envolvendo os comprimentos das diagonais e \alpha,\theta)?

Passo 2

Entender a geometria: no paralelogramo, as diagonais se cruzam no centro. Se chamarmos os comprimentos das duas diagonais de d_1 e d_2, então a distância do centro a cada vértice é metade do comprimento da diagonal que passa por esse vértice. Em particular, para dois vértices consecutivos:
  • a distância do centro ao vértice onde o ângulo de elevação é \alpha vale \dfrac{d_1}{2} (escolhendo a notação coerente),
  • a distância do centro ao vértice onde o ângulo de elevação é \theta vale \dfrac{d_2}{2}.
Explicando por que: as diagonais têm extremidades em vértices opostos; o centro é o ponto médio das diagonais, portanto o segmento do centro ao vértice é metade da diagonal correspondente.

Passo 3

Lembrando a definição de tangente do ângulo de elevação: em um triângulo retângulo formado pelo mastro (altura h) e a linha do vértice ao centro (distância horizontal r), tem-se
\operatorname{tg}(\text{ângulo})=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}=\frac{h}{r}.â
Aplicando aos dois vértices:
  • para o vértice com ângulo \alpha: \displaystyle \operatorname{tg}\alpha=\frac{h}{\dfrac{d_1}{2}}=\frac{2h}{d_1}.
  • para o vértice com ângulo \theta: \displaystyle \operatorname{tg}\theta=\frac{h}{\dfrac{d_2}{2}}=\frac{2h}{d_2}.

Passo 4

Agora fazemos a razão das tangentes para eliminar h e relacionar d_1 e d_2. Dividindo as duas expressões:
\frac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\theta} = \frac{\dfrac{2h}{d_1}}{\dfrac{2h}{d_2}} = \frac{d_2}{d_1}.
Ou seja, a razão entre as tangentes é igual à razão entre as diagonais, tomando na ordem mostrada: \displaystyle \frac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\theta}=\frac{d_2}{d_1}.

Passo 5

Interpretação para as alternativas: a alternativa que apresenta a razão das tangentes \dfrac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\theta} corresponde exatamente à relação entre os comprimentos das diagonais (uma razão entre diagonais — conforme a ordem escolhida, obtém-se a igualdade acima). Essa expressão aparece na alternativa (a).
Força aí — a conta é direta: as diagonais aparecem apenas porque a distância do centro ao vértice é metade da diagonal, e a tangente é altura sobre essa distância, então as tangentes relacionam diretamente as diagonais.

Resposta

(a) \dfrac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\theta}

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