A mostra “Castelo Rá-Tim-Bum - A exposição” recriou o famoso castelo, em homenagem ao programa infantil da TV Cultura o qual completou 20 anos do início de sua veiculação em 2014. Essa mostra foi inaugurada em julho, no Museu da Imagem e do Som (MIS), localizado na cidade de São Paulo, obtendo enorme sucesso de público. Os ingressos, vendidos na bilheteria do Museu, são de \mathrm{R} \ 10,00 (inteira) e\mathrm{R} $5,00$ (meia). Para menores de cinco anos, o ingresso é gratuito. Admita que no dia da inauguração da exposição:
  • Ingressaram 1.700 visitantes;
  • Entre esses visitantes, 150 eram menores de cinco anos;
  • A arrecadação total foi de R$ 12. 500, 00;
  • Todos os visitantes pagantes adquiriram os ingressos exclusivamente na bilheteria do MIS;
  • Com exceção das crianças menores de 5 anos, os demais visitantes pagaram ingresso.
Assim sendo, pode-se concluir que a quantidade de visitantes que pagou meia entrada nesse dia foi de:
a) 600 pessoas.
b) 650 pessoas.
c) 700 pessoas.
d) 750 pessoas.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar direitinho para a gente não se perder):
  • Entraram \,1700\, visitantes no total nesse dia.
  • Desses, \,150\, eram menores de cinco anos e, portanto, entraram de graça.
  • A arrecadação total foi de \mathrm{R}\$\,12.500,00.
  • O ingresso inteiro custa \mathrm{R}\$\,10,00 e o meia custa \mathrm{R}\$\,5,00.
  • Todos os visitantes pagantes compraram na bilheteria e, exceto as crianças menores de 5 anos, todos os demais pagaram ingresso.
O que a questão pede:
  • Determinar a quantidade de visitantes que pagou meia entrada nesse dia (escolher entre as alternativas dadas).

Passo 2

Vamos traduzir o problema para variáveis (isso é padrão e facilita muito na prova).
  • Seja \,x\, o número de pessoas que pagaram ingresso inteiro.
  • Seja \,y\, o número de pessoas que pagaram meia entrada.
Antes de montar as equações, calculemos quantos visitantes pagaram ingresso (ou seja, excluindo os 150 que entraram de graça):
\text{número de pagantes} = 1700 - 150 = 1550.ú
Como todos os pagantes são ou inteiras ou meias, obtemos a primeira equação:
x + y = 1550.
Aqui cada variável representa um número de pessoas (números inteiros não-negativos).

Passo 3

Agora exprimimos a arrecadação total em função de \,x\, e \,y\,.
  • Cada inteira gera \mathrm{R}\$\,10,00, então as x inteiras geram \mathrm{R}\$\,10x.
  • Cada meia gera \mathrm{R}\$\,5,00, então as y meias geram \mathrm{R}\$\,5y.
A soma deve ser a arrecadação total \mathrm{R}\$\,12.500,00. Montamos a segunda equação:
10x + 5y = 12500.
Dica didática: é comum simplificar equações multiplicativas dividindo por um fator comum para facilitar os cálculos; aqui dá para dividir por 5.

Passo 4

Resolvendo o sistema de equações por eliminação (método simples e rápido em prova).
Equações:
\begin{cases} x + y = 1550,\\[4pt] 10x + 5y = 12500. \end{cases}
Dividindo a segunda equação por 5 para simplificar:
2x + y = 2500.
Agora subtraímos a primeira equação da equação simplificada para eliminar y:
(2x + y) - (x + y) = 2500 - 1550.
No lado esquerdo (2x + y) - (x + y) = x. No lado direito 2500 - 1550 = 950. Logo:
x = 950.
Com x encontrado, voltamos à equação \,x + y = 1550\, para achar y:
950 + y = 1550 \quad\Rightarrow\quad y = 1550 - 950 = 600.
Checagem rápida (sempre faça na prova se der tempo): receita calculada = 10\cdot950 + 5\cdot600 = 9500 + 3000 = 12500, bate certinho com a arrecadação informada.]

Passo 5

Interpretação final: y é o número de pessoas que pagaram meia entrada. Obtivemos \,y=600\,, que corresponde à alternativa (a).
Observação de exame: montar as equações corretas é a parte essencial. Se esquecer de subtrair as crianças de 5 anos, o sistema fica errado. Sempre faça a checagem da soma e da receita para garantir que não houve erro de sinal ou conta.

Resposta

a) 600 pessoas.

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