Um casal de namorados jantou, em um fast-food de comida árabe, três vezes em um mesmo mês.
- Na primeira noite, consumiram dois quibes, cinco esfirras e dois sucos e pagaram R$ 32, 00 .
- Na segunda noite, consumiram três quibes, seis esfirras e três sucos e pagaram R$ 44, 70 .
- Na terceira noite, consumiram dois quibes, dez esfirras e três sucos e pagaram R$ 49, 00.
Qual o preço unitário do quibe, da esfirra e do suco?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Informações fornecidas (cada linha é uma noite; peguei esses números do enunciado):
- Primeira noite: consumiram 2 quibes, 5 esfirras e 2 sucos; pagaram
. - Segunda noite: consumiram 3 quibes, 6 esfirras e 3 sucos; pagaram
. - Terceira noite: consumiram 2 quibes, 10 esfirras e 3 sucos; pagaram
.
O que o enunciado pede:
- Determinar o preço unitário do quibe, da esfirra e do suco (em reais).
Passo 2
Definir incógnitas (isso é importante para traduzir o problema para matemática):
- Seja
o preço de um quibe (em reais). - Seja
o preço de uma esfirra (em reais). - Seja
o preço de um suco (em reais).
Explicação curta: cada noite fornece uma equação linear porque o total pago é a soma do número de itens vezes o preço unitário de cada item.
Passo 3
Escrever as equações correspondentes às três noites usando as incógnitas definidas.
Primeira noite:
Segunda noite:
Terceira noite:
Observação didática: temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas. Um método eficiente é eliminar uma incógnita formando combinações lineares das equações (subtração, por exemplo).
Passo 4
Eliminar
subtraindo a primeira equação da terceira (porque ambas têm
).
Terceira menos primeira:
Isso simplifica para:
Chamo esta equação de (A).
Explicação didática: subtraindo as equações os termos com
se cancelam, ficando uma relação entre
e
.
Passo 5
Agora eliminar
usando a segunda menos a primeira equação (assim obtemos outra equação sem
).
Segunda menos primeira:
Isso simplifica para:
Chamo esta equação de (B).
Explicação didática: agora temos duas equações mais simples: (A) relaciona
e
; (B) relaciona
mas já sem cancelamento total de incógnitas. Vamos usar (A) para eliminar
.
Passo 6
Isolar
a partir da equação (A):
Explicação didática: isolar uma variável significa escrever essa variável em função das outras; facilita substituir em outra equação e reduzir o número de incógnitas.
Passo 7
Substituir
em (B) para eliminar
e obter uma relação entre
e
.
Partindo de (B):
substituindo
:
Agora simplificar:
Isolando
:
portanto
Explicação didática: agora expressamos
em função de
. Com isso só falta uma equação com
apenas.
Passo 8
Substituir
e
em uma das equações originais (uso a primeira) para determinar
.
Primeira equação:
Substituir
e
:
Calcular passo a passo:
Agrupar termos em
e termos constantes:
Isolar
:
Interpretação: cada esfirra custa
reais.
Passo 9
Agora, com
, calcular
e
usando as fórmulas que já obtivemos.
Calcular
a partir de
:
Calcular
a partir de
:
Verificação rápida (cheque mental): substituir
,
,
na segunda equação:
confere com o valor informado. Boa — solução consistente.