Mostrando os detalhes do que fizer, encontre mathscr{L}(f) se f(t) for igual a:
-t \operatorname{cosh} 2 t

Passo 1

O enunciado dá a função f(t) = -t\operatorname{cosh} 2t e pede para encontrar \mathscr{L}(f), isto é, a transformada de Laplace de f.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(t) = -t\operatorname{cosh} 2t.
  • A incógnita é \mathscr{L}\{f\}(s), a transformada de Laplace em função de s.
  • Devemos indicar também a região de convergência (valores de s para os quais a integral que define a transformada converge).

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade útil da transformada de Laplace que vamos usar: se
F(s)=\mathscr{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}g(t)\,dt,
então, sob condições usuais de troca de derivada e integral (por exemplo g de ordem exponencial), vale
F'(s)=\frac{d}{ds}\mathscr{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}\big(e^{-st}\big)g(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}(-t)e^{-st}g(t)\,dt=-\mathscr{L}\{t\,g(t)\}(s).
Reescrevendo,
\mathscr{L}\{t\,g(t)\}(s) = -F'(s).
Esta identidade é extremamente prática: a transformada de t vezes uma função é (menos) a derivada em s da transformada da função sem o t. Vou usá-la com g(t)=\operatorname{cosh} 2t.

Passo 3

Primeiro calculamos \mathscr{L}\{\operatorname{cosh} 2t\}(s). Usamos a definição \operatorname{cosh} 2t = \tfrac{1}{2}(e^{2t}+e^{-2t}). Então
\mathscr{L}\{\operatorname{cosh} 2t\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\operatorname{cosh} 2t\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\big(e^{2t}+e^{-2t}\big)\,dt.
Separando as integrais e integrando exponenciais:
\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(s-2)t}\,dt + \int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t}\,dt\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-2}+\frac{1}{s+2}\right),
desde que as integrais converjam, isto é, para \Re(s)>2. Somando as frações:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-2}+\frac{1}{s+2}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{(s+2)+(s-2)}{(s-2)(s+2)} =\frac{1}{2}\cdot\frac{2s}{s^{2}-4} =\frac{s}{s^{2}-4}.
Portanto
\mathscr{L}\{\operatorname{cosh} 2t\}(s)=\frac{s}{s^{2}-4},\qquad \Re(s)>2.

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade do Passo 2 com g(t)=\operatorname{cosh} 2t. Denotando F(s)=\mathscr{L}\{\operatorname{cosh} 2t\}(s)=\dfrac{s}{s^{2}-4}, temos
\mathscr{L}\{t\operatorname{cosh} 2t\}(s) = -F'(s) = -\frac{d}{ds}\left(\frac{s}{s^{2}-4}\right).
Vamos calcular a derivada explicitamente usando a regra do quociente. Seja
F(s)=\frac{s}{s^{2}-4}.
A derivada é
F'(s)=\frac{(1)(s^{2}-4)-s(2s)}{(s^{2}-4)^{2}} =\frac{s^{2}-4-2s^{2}}{(s^{2}-4)^{2}} =\frac{-s^{2}-4}{(s^{2}-4)^{2}}.
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\mathscr{L}\{t\operatorname{cosh} 2t\}(s) = -F'(s) = -\left(\frac{-s^{2}-4}{(s^{2}-4)^{2}}\right)=\frac{s^{2}+4}{(s^{2}-4)^{2}}.

Passo 5

A função pedida é f(t)=-t\operatorname{cosh} 2t. Então a transformada é
\mathscr{L}\{-t\operatorname{cosh} 2t\}(s) = -\mathscr{L}\{t\operatorname{cosh} 2t\}(s).
Usando o resultado do passo anterior:
\mathscr{L}\{-t\operatorname{cosh} 2t\}(s) = -\frac{s^{2}+4}{(s^{2}-4)^{2}}.
A região de convergência permanece \Re(s)>2.

Resposta

\mathscr{L}\{-t\operatorname{cosh} 2t\}(s) = -\frac{s^{2}+4}{(s^{2}-4)^{2}},\qquad \Re(s)>2

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