Mostrando os detalhes do que fizer, encontre
se
for igual a:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar
, isto é, a transformada de Laplace de
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - A incógnita é
, a transformada de Laplace em função de . - Devemos indicar também a região de convergência (valores de
para os quais a integral que define a transformada converge).
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade útil da transformada de Laplace que vamos usar: se
então, sob condições usuais de troca de derivada e integral (por exemplo
de ordem exponencial), vale
Reescrevendo,
Esta identidade é extremamente prática: a transformada de
vezes uma função é (menos) a derivada em
da transformada da função sem o
. Vou usá-la com
.
Passo 3
Primeiro calculamos
. Usamos a definição
. Então
Separando as integrais e integrando exponenciais:
desde que as integrais converjam, isto é, para
. Somando as frações:
Portanto
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade do Passo 2 com
. Denotando
, temos
Vamos calcular a derivada explicitamente usando a regra do quociente. Seja
A derivada é
Logo
Passo 5
A função pedida é
. Então a transformada é
Usando o resultado do passo anterior:
A região de convergência permanece
.