Mostrando os detalhes do que fizer, encontre mathscr{L}(f) se f(t) for igual a:
4 t e^{t}
Passo 1
O enunciado dá a função f(t)=4\,t\,e^{t} e pede para encontrar \mathscr{L}(f), isto é, a transformada de Laplace de f.
Informações importantes dadas: f(t)=4\,t\,e^{t} para t\ge 0.
O que se pede: calcular \mathscr{L}\{4\,t\,e^{t}\}(s).
Passo 2
Vamos lembrar a definição da transformada de Laplace e o que cada símbolo significa. A transformada de Laplace de uma função f(t) é
onde s é uma variável complexa (na prática para questões básicas tratamos s como real) e a integral precisa convergir para certos valores de s — esse conjunto de s em que a integral converge chama-se região de convergência (R.C.). Aqui vamos aplicar essa definição a f(t)=4\,t\,e^{t}.
Passo 3
Escrevo a transformada pelo próprio integral e extraio constantes:
Para que a integral \int_{0}^{\infty} t\,e^{-(s-1)t}\,dt converja, o fator exponencial deve decair quando t\to\infty. Portanto precisamos que a parte real de s-1 seja positiva, i.e. \operatorname{Re}(s)>1. Vou definir
p := s-1,
com a condição \operatorname{Re}(p)>0. Assim a integral fica
4\int_{0}^{\infty} t\,e^{-p t}\,dt.
Passo 5
Agora calculo a integral \int_{0}^{\infty} t\,e^{-p t}\,dt por integração por partes. Lembre que integração por partes usa \int u\,dv = uv - \int v\,du. Escolho
para n inteiro não negativo e \operatorname{Re}(s)>a. Aqui n=1 e a=1, então \mathscr{L}\{t e^{t}\}(s)=1/(s-1)^{2}. Multiplicando por 4 dá o mesmo resultado \,4/(s-1)^{2}, confirmando o cálculo anterior.
Resposta
\displaystyle \mathscr{L}\{4\,t\,e^{t}\}(s)=\frac{4}{(s-1)^{2}}, para \operatorname{Re}(s)>1