Mostrando os detalhes do que fizer, encontre mathscr{L}(f) se f(t) for igual a:
4 t e^{t}

Passo 1

O enunciado dá a função f(t)=4\,t\,e^{t} e pede para encontrar \mathscr{L}(f), isto é, a transformada de Laplace de f.
Informações importantes dadas: f(t)=4\,t\,e^{t} para t\ge 0.
O que se pede: calcular \mathscr{L}\{4\,t\,e^{t}\}(s).

Passo 2

Vamos lembrar a definição da transformada de Laplace e o que cada símbolo significa. A transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathscr{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática para questões básicas tratamos s como real) e a integral precisa convergir para certos valores de s — esse conjunto de s em que a integral converge chama-se região de convergência (R.C.). Aqui vamos aplicar essa definição a f(t)=4\,t\,e^{t}.

Passo 3

Escrevo a transformada pelo próprio integral e extraio constantes:
\mathscr{L}\{4\,t\,e^{t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} 4\,t\,e^{t}\,e^{-s t}\,dt.
Como 4 é constante, tiro fora do integral:
\mathscr{L}\{4\,t\,e^{t}\}(s)=4\int_{0}^{\infty} t\,e^{-(s-1)t}\,dt.
Aqui simplifiquei e^{t}e^{-s t}=e^{-(s-1)t}.

Passo 4

Para que a integral \int_{0}^{\infty} t\,e^{-(s-1)t}\,dt converja, o fator exponencial deve decair quando t\to\infty. Portanto precisamos que a parte real de s-1 seja positiva, i.e. \operatorname{Re}(s)>1. Vou definir
p := s-1,
com a condição \operatorname{Re}(p)>0. Assim a integral fica
4\int_{0}^{\infty} t\,e^{-p t}\,dt.

Passo 5

Agora calculo a integral \int_{0}^{\infty} t\,e^{-p t}\,dt por integração por partes. Lembre que integração por partes usa \int u\,dv = uv - \int v\,du. Escolho
u=t,\qquad dv=e^{-p t}\,dt.
Então
du=dt,\qquad v=\int e^{-p t}\,dt = -\frac{1}{p}e^{-p t}.
Aplicando integração por partes em [0,\infty):
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-p t}\,dt = \left. -\frac{t}{p} e^{-p t}\right|_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{p} e^{-p t}\,dt.
Analiso o termo de fronteira: como \operatorname{Re}(p)>0, e^{-p t} decai mais rápido que t cresce, logo
\lim_{t\to\infty} \frac{t}{p} e^{-p t}=0,
e no t=0 o termo vale 0. Portanto o termo de fronteira é 0-0=0. Resta
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-p t}\,dt = \frac{1}{p}\int_{0}^{\infty} e^{-p t}\,dt.
Mas \int_{0}^{\infty} e^{-p t}\,dt = \left.\! -\frac{1}{p}e^{-p t}\right|_{0}^{\infty} = \frac{1}{p} (novamente porque \operatorname{Re}(p)>0). Então
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-p t}\,dt = \frac{1}{p}\cdot\frac{1}{p}=\frac{1}{p^{2}}.

Passo 6

Voltando à transformada com o fator 4:
\mathscr{L}\{4\,t\,e^{t}\}(s)=4\cdot\frac{1}{p^{2}}.
Lembrando que p=s-1, obtemos
\mathscr{L}\{4\,t\,e^{t}\}(s)=\frac{4}{(s-1)^{2}},
com região de convergência \operatorname{Re}(s)>1.

Passo 7

Observação alternativa (útil para decorar): existe a fórmula geral
\mathscr{L}\{t^{n}e^{a t}\}(s)=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}},
para n inteiro não negativo e \operatorname{Re}(s)>a. Aqui n=1 e a=1, então \mathscr{L}\{t e^{t}\}(s)=1/(s-1)^{2}. Multiplicando por 4 dá o mesmo resultado \,4/(s-1)^{2}, confirmando o cálculo anterior.

Resposta

\displaystyle \mathscr{L}\{4\,t\,e^{t}\}(s)=\frac{4}{(s-1)^{2}}, para \operatorname{Re}(s)>1

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