Mostrando os detalhes do que fizer, encontre
se
for igual a:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
onde a função é
.
Informações fornecidas: é a variável do tempo,
é uma constante (ângulo ou deslocamento de fase) e queremos a transformada de Laplace da função para valores de
em que a integral definir convergente.
Informações fornecidas:
Passo 2
Primeiro simplificamos a parte trigonométrica usando a identidade de soma de ângulos. Lembre que
Aplicando com
e
obtemos
Como
é constante, isto implica
Passo 3
Usamos a linearidade da transformada de Laplace: para constantes
e funções
,
Aplicando à decomposição do passo anterior:
Passo 4
Para calcular
usamos uma propriedade muito útil: se
então
Breve justificativa: por definição
. Diferenciando sob o sinal de integral,
Passo 5
Usamos as transformadas básicas (para
):
Aqui
, então
válidos para
.
Passo 6
Calculemos
usando a propriedade do passo 4:
Derivando passo a passo:
Portanto
Passo 7
Agora
:
Derivando:
Assim
Passo 8
Retornando à combinação do passo 3:
Colocando em uma única fração:
válido para
.