Mostrando os detalhes do que fizer, encontre mathscr{L}(f) se f(t) for igual a:
t \cos (t+k)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \mathscr{L}(f) onde a função é \,f(t)=t\cos(t+k)\,.
Informações fornecidas: t é a variável do tempo, k é uma constante (ângulo ou deslocamento de fase) e queremos a transformada de Laplace da função para valores de s em que a integral definir convergente.

Passo 2

Primeiro simplificamos a parte trigonométrica usando a identidade de soma de ângulos. Lembre que
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.
Aplicando com a=t e b=k obtemos
\cos(t+k)=\cos t\cos k-\sin t\sin k.
Como k é constante, isto implica
f(t)=t\cos(t+k)=t\big(\cos k\cos t-\sin k\sin t\big).

Passo 3

Usamos a linearidade da transformada de Laplace: para constantes A,B e funções g,h,
\mathscr{L}\{A g(t)+B h(t)\}(s)=A\,\mathscr{L}\{g(t)\}(s)+B\,\mathscr{L}\{h(t)\}(s).
Aplicando à decomposição do passo anterior:
\mathscr{L}\{t\cos(t+k)\}(s)=\cos k\;\mathscr{L}\{t\cos t\}(s)-\sin k\;\mathscr{L}\{t\sin t\}(s).

Passo 4

Para calcular \mathscr{L}\{t\,f(t)\} usamos uma propriedade muito útil: se F(s)=\mathscr{L}\{f(t)\}(s) então
\mathscr{L}\{t f(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}F(s).
Breve justificativa: por definição F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt. Diferenciando sob o sinal de integral,
\frac{d}{ds}F(s)=\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}\big(e^{-st}\big)f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}(-t)e^{-st}f(t)\,dt=-\mathscr{L}\{t f(t)\}(s).

Passo 5

Usamos as transformadas básicas (para a>0):
\mathscr{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathscr{L}\{\sin(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui a=1, então
\mathscr{L}\{\cos t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+1},\qquad \mathscr{L}\{\sin t\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1},
válidos para \Re(s)>0.

Passo 6

Calculemos \mathscr{L}\{t\cos t\}(s) usando a propriedade do passo 4:
\mathscr{L}\{t\cos t\}(s)=-\frac{d}{ds}\!\left(\frac{s}{s^{2}+1}\right).
Derivando passo a passo:
\frac{d}{ds}\!\left(\frac{s}{s^{2}+1}\right)=\frac{(1)(s^{2}+1)-s(2s)}{(s^{2}+1)^{2}} =\frac{s^{2}+1-2s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}=\frac{1-s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}.
Portanto
\mathscr{L}\{t\cos t\}(s)=-\frac{1-s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}=\frac{s^{2}-1}{(s^{2}+1)^{2}}.

Passo 7

Agora \mathscr{L}\{t\sin t\}(s):
\mathscr{L}\{t\sin t\}(s)=-\frac{d}{ds}\!\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right).
Derivando:
\frac{d}{ds}\!\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right)=-\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.
Assim
\mathscr{L}\{t\sin t\}(s)=-\left(-\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}\right)=\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.

Passo 8

Retornando à combinação do passo 3:
\mathscr{L}\{t\cos(t+k)\}(s)=\cos k\;\frac{s^{2}-1}{(s^{2}+1)^{2}}-\sin k\;\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.
Colocando em uma única fração:
\mathscr{L}\{t\cos(t+k)\}(s)=\frac{(s^{2}-1)\cos k-2s\sin k}{(s^{2}+1)^{2}},
válido para \Re(s)>0.

Resposta

\mathscr{L}\{t\cos(t+k)\}(s)=\dfrac{(s^{2}-1)\cos k-2s\sin k}{(s^{2}+1)^{2}},\\ \Re(s)>0.

Exercícios relacionados