Mostrando os detalhes do que fizer, obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
Passo 1
Aqui está o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
. - O enunciado pede: encontrar a solução
, representar graficamente (descrever a forma/ comportamento) e discutir a solução (efeitos do termo e do impulso ). - Informação importante: há um
(delta de Dirac) em , que representa um impulso instantâneo na equação. A solução deve ser tratada em trechos (antes e depois de ), garantindo continuidade de e contabilizando o efeito do impulso na derivada.
Passo 2
Estratégia (breve, só para ficar claro o plano antes de calcular): vamos resolver a EDO por partes. Entre impulsos (isto é, para
) a equação é a mesma homogênea com forçamento
:
Devemos: (i) achar uma solução particular do caso contínuo (tratar ressonância), (ii) aplicar as condições iniciais para
, (iii) obter
e
, (iv) usar a integral da EDO sobre um intervalo pequeno contendo
para achar o salto em
causado pelo
, (v) reinicializar o problema em
com as novas condições e achar a solução para
. Vou explicar cada técnica enquanto aplico.
Passo 3
Resolver a equação para
: homogênea e particular.
A equação homogênea associada é
A equação homogênea associada é
cuja solução geral é
onde
são constantes a determinar. Explico rapidinho: a equação
tem raízes imaginárias
, daí soluções
e
; qualquer combinação linear delas resolve a homogênea.
Agora precisamos de uma solução particular de
A força é
. Repare que
é solução da homogênea (resonância): portanto a tentativa padrão
falharia. Para o caso ressonante multiplicamos por
e tentamos uma particular da forma
. Mas nota: como o lado direito é apenas
(sem cóseno), muitas vezes um termo só basta. Vamos tentar a forma mais simples que costuma funcionar: testar
. Vou calcular e verificar se isso funciona.
Calculemos derivadas de
.
Agora somamos
:
Queremos que isso seja igual a
. Então
implica
. Logo
é uma solução particular. Observação didática: o fator
apareceu por conta da ressonância (forçamento na mesma frequência da solução homogênea).
Passo 4
Solução geral entre impulsos (para
) e aplicação das condições iniciais para o intervalo
.
A solução geral é
A solução geral é
Aplicando
:
Assim
. Agora a derivada geral (com
) é
Com
isso fica
Impondo
:
Portanto, para
obtemos a solução simples
Observação/carácter didático: o comportamento inicial é puramente a solução particular ressonante; as constantes da homogênea foram anuladas pelas condições iniciais.
Passo 5
Calcular
e
(valores imediatamente antes do impulso). Usamos a forma
.
Derivada:
logo
Passo 6
Efeito do impulso
: salto na derivada.
Explico a regra: integramos a equação em um intervalo
e fazemos
. A integral de
dá
. A integral de
sobre um intervalo que tende a zero vai para
. A integral de
sobre um intervalo infinitesimal é
. A integral de
é
. Portanto obtemos:
Explico a regra: integramos a equação
Assim o impulso adiciona
à derivada instantaneamente. Como calculamos
, segue:
A função
permanece contínua no instante do delta:
.
Passo 7
Resolver para
usando as condições em
. A equação continua sendo a mesma para
, então a solução geral é
Impondo as condições em
:
e
. Primeiro calcule
:
Igualando a
dá
Agora a derivada geral (com
):
Em
(com
):
Igualando a
obtemos
Portanto para
Passo 8
Verificações rápidas (coerência):
- Continuidade em
: . . OK. - Salto de derivada em
: calcule . Assim . Confere com o salto obtido. Tudo consistente.
Passo 9
Interpretação física/qualitativa e representação gráfica (descrição). Vou descrever como seria o gráfico e discutir os pontos essenciais de comportamento, para você saber o que desenhar e o que esperar na prova.
-
Componente ressonante (antes do impulso): para
temos . Isso é um oscilador cuja amplitude cresce linearmente com (envelopes ). Assim as oscilações têm frequência (período ), mas a amplitude cresce sem limite (instabilidade secular) por causa da ressonância com a força . No gráfico, você verá as cristas positivas e negativas ficando maiores com o tempo, até . -
No instante
aparece um impulso de magnitude . O impulso não altera (continuidade), mas aumenta instantaneamente a velocidade em . No gráfico a curva é contínua em mas a tangente tem um salto: a inclinação à direita é muito maior (ou diferente) do que à esquerda. Isso corresponde a uma mudança súbita na velocidade da oscilação. -
Para
a solução é . É a mesma tendência de crescimento linear por , mas agora temos uma correção que altera a fase/amplitude localmente. Em particular, o termo oscila com amplitude e não cresce com ; portanto, para grande o termo dominante continua sendo . O impulso alterou a oscilação (mudou a combinação de seno/cosseno após ), mas não impediu a tendência secular causada pela ressonância. -
Pontos numéricos interessantes:
, (porque ), . Logo após , a curva continua em mas com derivada passando de (antes) para (depois), então a curva começa a subir rapidamente logo após .
Se fosse desenhar à mão: trace
até
(oscilações crescendo), marque o ponto
e desenhe a continuidade, mas com uma mudança evidente na inclinação (mais positiva) depois de
, e continue com a forma
.
Passo 10
Resumo das propriedades e dicas para prova (pequena revisão didática):
- Para termos de forçamento na mesma frequência da homogênea (ressonância), procure multiplicar por
ao tentar uma solução particular. Aqui . - Um termo
causa uma descontinuidade em de magnitude , enquanto permanece contínua. Isso se obtém integrando a EDO sobre um intervalo que contém . - Resolver problemas com
costuma exigir dividir o tempo em trechos e “resetar” as condições iniciais no instante do impulso. Memorizando a regra do salto em você ganha tempo na prova.
Resposta
com
.]