Mostrando os detalhes do que fizer, obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
y^{\prime \prime}+y=-2 \operatorname{sen} t+10 \delta(t-\pi), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

Aqui está o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Equação diferencial: y''+y=-2\operatorname{sen} t+10\delta(t-\pi).
  • Condições iniciais: y(0)=0,\;y'(0)=1.
  • O enunciado pede: encontrar a solução y(t), representar graficamente (descrever a forma/ comportamento) e discutir a solução (efeitos do termo -2\operatorname{sen} t e do impulso 10\delta(t-\pi)).
  • Informação importante: há um \delta (delta de Dirac) em t=\pi, que representa um impulso instantâneo na equação. A solução deve ser tratada em trechos (antes e depois de t=\pi), garantindo continuidade de y e contabilizando o efeito do impulso na derivada.

Passo 2

Estratégia (breve, só para ficar claro o plano antes de calcular): vamos resolver a EDO por partes. Entre impulsos (isto é, para t\neq\pi) a equação é a mesma homogênea com forçamento -2\operatorname{sen} t:
y''+y=-2\operatorname{sen} t.
Devemos: (i) achar uma solução particular do caso contínuo (tratar ressonância), (ii) aplicar as condições iniciais para 0\le t<\pi, (iii) obter y(\pi^-) e y'(\pi^-), (iv) usar a integral da EDO sobre um intervalo pequeno contendo \pi para achar o salto em y' causado pelo \delta, (v) reinicializar o problema em t=\pi^+ com as novas condições e achar a solução para t>\pi. Vou explicar cada técnica enquanto aplico.

Passo 3

Resolver a equação para t\neq\pi: homogênea e particular.
A equação homogênea associada é
y_h''+y_h=0,
cuja solução geral é
y_h(t)=A\cos t+B\sin t,
onde A,B são constantes a determinar. Explico rapidinho: a equação y''+y=0 tem raízes imaginárias \pm i, daí soluções \cos t e \sin t; qualquer combinação linear delas resolve a homogênea.
Agora precisamos de uma solução particular de
y''+y=-2\operatorname{sen} t.
A força é -2\operatorname{sen} t. Repare que \operatorname{sen} t é solução da homogênea (resonância): portanto a tentativa padrão C\cos t + D\sin t falharia. Para o caso ressonante multiplicamos por t e tentamos uma particular da forma y_p(t)=a\,t\cos t + b\,t\sin t. Mas nota: como o lado direito é apenas -2\operatorname{sen} t (sem cóseno), muitas vezes um termo só basta. Vamos tentar a forma mais simples que costuma funcionar: testar y_p(t)=a\,t\cos t. Vou calcular e verificar se isso funciona.
Calculemos derivadas de y_p(t)=a t\cos t.
y_p'(t)=a\cos t - a t\operatorname{sen} t,
y_p''(t)=-a\operatorname{sen} t - a\operatorname{sen} t - a t\cos t = -2a\operatorname{sen} t - a t\cos t.
Agora somamos y_p''+y_p:
y_p''+y_p = (-2a\operatorname{sen} t - a t\cos t) + (a t\cos t) = -2a\operatorname{sen} t.
Queremos que isso seja igual a -2\operatorname{sen} t. Então -2a\operatorname{sen} t=-2\operatorname{sen} t implica a=1. Logo
y_p(t)=t\cos t
é uma solução particular. Observação didática: o fator t apareceu por conta da ressonância (forçamento na mesma frequência da solução homogênea).

Passo 4

Solução geral entre impulsos (para t\neq\pi) e aplicação das condições iniciais para o intervalo 0\le t<\pi.
A solução geral é
y(t)=A\cos t+B\sin t + t\cos t.
Aplicando y(0)=0:
y(0)=A\cdot 1 + B\cdot 0 + 0\cdot 1 = A = 0.
Assim A=0. Agora a derivada geral (com A=0) é
y'(t)= -A\sin t + B\cos t + \cos t - t\operatorname{sen} t.
Com A=0 isso fica
y'(t)=(B+1)\cos t - t\operatorname{sen} t.
Impondo y'(0)=1:
y'(0)=(B+1)\cdot 1 - 0 = B+1 = 1 \implies B=0.
Portanto, para 0\le t<\pi obtemos a solução simples
y_-(t)=t\cos t.
Observação/carácter didático: o comportamento inicial é puramente a solução particular ressonante; as constantes da homogênea foram anuladas pelas condições iniciais.

Passo 5

Calcular y(\pi^-) e y'(\pi^-) (valores imediatamente antes do impulso). Usamos a forma y_-(t)=t\cos t.
y(\pi^-)=\pi\cos\pi=\pi(-1)=-\pi.
Derivada:
y'_-(t)=\cos t - t\operatorname{sen} t,
logo
y'_-(\pi)=\cos\pi - \pi\operatorname{sen}\pi = -1 - \pi\cdot 0 = -1.

Passo 6

Efeito do impulso \;10\delta(t-\pi): salto na derivada.
Explico a regra: integramos a equação \;y''+y=-2\operatorname{sen} t+10\delta(t-\pi) em um intervalo (\pi-\varepsilon,\pi+\varepsilon) e fazemos \varepsilon\to0^+. A integral de y'' y'(\pi^+)-y'(\pi^-). A integral de y sobre um intervalo que tende a zero vai para 0. A integral de -2\operatorname{sen} t sobre um intervalo infinitesimal é 0. A integral de 10\delta(t-\pi) é 10. Portanto obtemos:
y'(\pi^+)-y'(\pi^-)=10.
Assim o impulso adiciona 10 à derivada instantaneamente. Como calculamos y'_-(\pi)=-1, segue:
y'(\pi^+)=y'(\pi^-)+10 = -1+10 = 9.
A função y permanece contínua no instante do delta: y(\pi^+)=y(\pi^-)= -\pi.

Passo 7

Resolver para t>\pi usando as condições em t=\pi^+. A equação continua sendo a mesma para t>\pi, então a solução geral é
y(t)=C\cos t + D\sin t + t\cos t.
Impondo as condições em t=\pi: y(\pi)= -\pi e y'(\pi)=9. Primeiro calcule y(\pi):
y(\pi)=C\cos\pi + D\sin\pi + \pi\cos\pi = -C + 0 -\pi = -C-\pi.
Igualando a -\pi -C-\pi = -\pi \Rightarrow C=0. Agora a derivada geral (com C=0):
y'(t)= -C\sin t + D\cos t + \cos t - t\operatorname{sen} t = (D+1)\cos t - t\operatorname{sen} t.
Em t=\pi (com C=0):
y'(\pi)=(D+1)\cos\pi - \pi\operatorname{sen}\pi = (D+1)(-1) - 0 = -(D+1).
Igualando a 9 obtemos -(D+1)=9 \Rightarrow D+1 = -9 \Rightarrow D=-10. Portanto para t>\pi
y_+(t)=t\cos t -10\sin t.

Passo 8

Verificações rápidas (coerência):
  • Continuidade em t=\pi: y_-(\pi)=\pi\cos\pi=-\pi. y_+(\pi)=\pi\cos\pi -10\sin\pi=-\pi-10\cdot 0=-\pi. OK.
  • Salto de derivada em t=\pi: calcule y_+'(t)=\cos t - t\operatorname{sen} t -10\cos t = -9\cos t - t\operatorname{sen} t. Assim y_+'(\pi)=-9\cos\pi - \pi\cdot 0 = -9(-1)=9. Confere com o salto obtido. Tudo consistente.

Passo 9

Interpretação física/qualitativa e representação gráfica (descrição). Vou descrever como seria o gráfico e discutir os pontos essenciais de comportamento, para você saber o que desenhar e o que esperar na prova.
  1. Componente ressonante (antes do impulso): para 0\le t<\pi temos y(t)=t\cos t. Isso é um oscilador cuja amplitude cresce linearmente com t (envelopes y=\pm t). Assim as oscilações têm frequência 1 (período 2\pi), mas a amplitude cresce sem limite (instabilidade secular) por causa da ressonância com a força -2\operatorname{sen} t. No gráfico, você verá as cristas positivas e negativas ficando maiores com o tempo, até t=\pi.
  2. No instante t=\pi aparece um impulso de magnitude 10. O impulso não altera y (continuidade), mas aumenta instantaneamente a velocidade y' em +10. No gráfico a curva é contínua em t=\pi mas a tangente tem um salto: a inclinação à direita é muito maior (ou diferente) do que à esquerda. Isso corresponde a uma mudança súbita na velocidade da oscilação.
  3. Para t>\pi a solução é y(t)=t\cos t -10\sin t. É a mesma tendência de crescimento linear por t\cos t, mas agora temos uma correção -10\sin t que altera a fase/amplitude localmente. Em particular, o termo -10\sin t oscila com amplitude 10 e não cresce com t; portanto, para t grande o termo dominante continua sendo t\cos t. O impulso alterou a oscilação (mudou a combinação de seno/cosseno após \pi), mas não impediu a tendência secular causada pela ressonância.
  4. Pontos numéricos interessantes: y(0)=0, y(\pi/2)=0 (porque \cos(\pi/2)=0), y(\pi)=-\pi. Logo após \pi, a curva continua em -\pi mas com derivada passando de -1 (antes) para 9 (depois), então a curva começa a subir rapidamente logo após \pi.
Se fosse desenhar à mão: trace t\cos t até t=\pi (oscilações crescendo), marque o ponto (\pi,-\pi) e desenhe a continuidade, mas com uma mudança evidente na inclinação (mais positiva) depois de \pi, e continue com a forma t\cos t -10\sin t.

Passo 10

Resumo das propriedades e dicas para prova (pequena revisão didática):
  • Para termos de forçamento na mesma frequência da homogênea (ressonância), procure multiplicar por t ao tentar uma solução particular. Aqui y_p=t\cos t.
  • Um termo \alpha\delta(t-t_0) causa uma descontinuidade em y' de magnitude \alpha, enquanto y permanece contínua. Isso se obtém integrando a EDO sobre um intervalo que contém t_0.
  • Resolver problemas com \delta costuma exigir dividir o tempo em trechos e “resetar” as condições iniciais no instante do impulso. Memorizando a regra do salto em y' você ganha tempo na prova.

Resposta

y(t)= \begin{cases} t\cos t, & 0\le t<\pi,\\[4pt] t\cos t -10\sin t, & t>\pi, \end{cases}
com y(\pi)=-\pi.]

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