Mostrando os detalhes do que fizer, obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as. y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-4 y=2 e^{t}-8 e^{2} \delta(t-2), y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=0
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva a equação diferencial ordinária não homogênea com impulso (delta de Dirac),
y''+3y'-4y=2e^{t}-8e^{2}\delta(t-2),
sujeita às condições iniciais
y(0)=2,\qquad y'(0)=0.
As perguntas implícitas são: encontrar a solução y(t) para todo t, representar graficamente e discutir o comportamento (continuidade, saltos, estabilidade, comportamento assintótico). As informações relevantes que o enunciado dá são: o termo forçante composto por 2e^{t} (forçamento contínuo) e um impulso localizado em t=2 de intensidade -8e^{2}. Não há figura a ser usada.
Passo 2
Primeiro resolvo a equação homogênea associada (para aprender a montar a solução geral). A equação homogênea é
y''+3y'-4y=0.
Para resolver, fazemos a equação característica:
r^{2}+3r-4=0.
Resolvendo essa quadrática:
r=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\frac{-3\pm5}{2},
ou seja r=1 e r=-4. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-4t},
onde C_{1},C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais e pelas condições impostas pelo impulso.
Explicação didática curta: a solução homogênea é combinação linear das exponenciais e^{rt} com r raízes da característica — isso vem porque e^{rt} ao ser derivada gera fatores r que reduzem a equação a um polinômio em r.
Passo 3
Agora encontro uma solução particular para o termo contínuo 2e^{t} (válida para t\neq 2, onde o delta não atua). Como e^{t} é solução da homogênea (raiz r=1), há ressonância de ordem 1. Na ressonância, o ensaio (ansatz) é multiplicar por t. Assim tento
y_{p1}(t)=A\,t e^{t},
onde A é constante a determinar. Calculo derivadas passo a passo:
y_{p1}'(t)=A(1+t)e^{t},
y_{p1}''(t)=A(2+t)e^{t}.
Substituo na equação (ignorando o delta, i.e. para t\neq2):
y_{p1}''+3y_{p1}'-4y_{p1}=A(2+t)e^{t}+3A(1+t)e^{t}-4A t e^{t}.
Agrupando:
= A\bigl[(2+t)+3(1+t)-4t\bigr]e^{t}=A(5)e^{t}.
Queremos que isso seja igual a 2e^{t}. Logo 5A=2 e
A=\frac{2}{5}.
Portanto
y_{p1}(t)=\frac{2}{5}t e^{t}\qquad (t\neq2).
Breve lembrete didático: quando a forma do termo forçante coincide com solução homogênea, multiplica-se por t (ou por t^m conforme multiplicidade) para conseguir uma solução linearmente independente.
Passo 4
A solução geral para regiões sem o delta (ou seja em (-\infty,2)\) e \((2,\infty)\)) é a soma da homogênea com a particular \(y_{p1}\):
\[y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-4t}+\frac{2}{5}t e^{t}.
Primeiro aplico as condições iniciais em t=0 (esta parte é para a região 0\le t<2), chamando as constantes nessa região de C_{1},C_{2}. Avalio y(0) e y'(0). Calculando:
Resolvo por eliminação: subtraindo, -5C_{2}=-\dfrac{12}{5}\], então
\[C_{2}=\frac{12}{25},\qquad C_{1}=2-\frac{12}{25}=\frac{38}{25}.\]
Portanto, para \(0\le t<2 (ou de modo geral t<2 se quisermos),
Agora trato o impulso em t=2. Para ver como o impulso afeta y e y', integro a equação em torno de t=2 em um intervalo pequeno (2-\varepsilon,2+\varepsilon) e tomo \varepsilon\to0^{+}. Fazendo isso:
e o termo com integral de y tende a zero com \varepsilon\to0. O lado direito, a integral de 2e^{t} tende a zero (pois é finita sobre um intervalo que encolhe) e a integral do delta dá -8e^{2}. Assim, no limite obtemos a condição de salto:
\Delta y' + 3\Delta y = -8 e^{2},
onde \Delta y:=y(2^{+})-y(2^{-}) e \Delta y':=y'(2^{+})-y'(2^{-}).
Comentário didático: diferente do caso sem o termo 3y', aqui o impulso pode provocar salto também na própria y, porque a integração de 3y' dá 3\Delta y. Portanto não presumimos continuidade de y em t=2.
Passo 7
Para t>2 a solução também tem a forma geral (mesma equação diferencial sem o delta):
y_{+}(t)=A e^{t}+B e^{-4t}+\frac{2}{5}t e^{t},
com constantes A,B que vamos determinar usando as relações de salto e os valores à esquerda. Avalio y_{+}(2) e y_{+}'(2):
y_{+}(2)=A e^{2}+B e^{-8}+\frac{4}{5}e^{2},
y_{+}'(2)=A e^{2}-4B e^{-8}+\frac{6}{5}e^{2}.
Agora escrevo \Delta y=y_{+}(2)-y_{-}(2) e \Delta y'=y_{+}'(2)-y_{-}'(2). Substituo as expressões obtidas em ambas as diferenças e coloco na condição de salto \Delta y' +3\Delta y=-8e^{2}. Fazendo as contas e coletando termos em e^{2} e e^{-8} (mostro os passos essenciais):
Observação prática: o enunciado usa \delta(t-2) que atua apenas no instante t=2; por isso escrevemos solução em duas regiões e usamos as condições de salto para ligar as duas.
Passo 9
Discussão qualitativa e instruções de gráfico (como desenhar na prova sem calculadora):
Continuidade / saltos: y tem um salto finito em t=2 de valor \Delta y=-2e^{2} (queda para baixo). A derivada tem o mesmo salto \Delta y'=-2e^{2}. Isso decorre do impulso -8e^{2} e da presença do termo 3y' na equação (a condição de salto é \Delta y'+3\Delta y=-8e^{2}).
Comportamento para t\to\infty: o termo dominante é a parte particular \dfrac{2}{5}t e^{t}, que cresce como t e^{t} positivo. Assim y(t)\to+\infty quando t\to\infty — solução instável (não tendendo a zero). Para t\to-\infty os termos com e^{t} e t e^{t} tendem a zero, e e^{-4t} diverge para +\infty quando t\to-\infty, porém normalmente consideramos t\ge0 aqui pela condição inicial; para t\ge0 a solução é bem definida.
Forma do gráfico (instrução para esboçar): para 0\le t<2 a combinação \tfrac{38}{25}e^{t}+\tfrac{2}{5}t e^{t} domina e a solução cresce até t=2; no instante t=2 ocorre uma queda brusca de magnitude 2e^{2} e depois, para t>2, a solução retoma crescimento com a mesma tendência exponencial acelerada pelo termo t e^{t} (por isso após a queda a curva volta a crescer rapidamente). Numericamente, usando e^{2}\approx7{,}389: antes do salto y(2^{-})\approx17{,}15, depois do salto y(2^{+})\approx2{,}37 (queda ≈14{,}78). A derivada também salta negativamente no mesmo instante.
Como desenhar sem calculadora: trace a curva dada pela expressão de t<2 até t=2^{-}; marque o ponto y(2^{-}). No instante t=2 desenhe uma linha vertical de queda até y(2^{+}) e continue a curva para t>2 usando a expressão de t>2. Indique o salto no gráfico e a tendência de crescimento para grandes t.
Passo 10
Resumo final e dica de prova: usar solução geral homogênea + particular para a parte contínua; aplicar condições iniciais para a região inicial; integrar a EDO sobre um intervalo pequeno ao redor do impulso para obter a condição de salto \Delta y'+3\Delta y=-8e^{2}; usar essa condição junto com os valores à esquerda para determinar as constantes à direita. Isso funciona rápido e é uma técnica padrão quando aparece \delta em EDOs lineares de ordem finita. Boa — você consegue: marque bem o salto e o comportamento assintótico no rascunho do gráfico.