Mostrando os detalhes do que fizer, obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
Passo 1
O enunciado dá a EDO não homogênea com impulsos e condições iniciais:
As perguntas (o que precisamos entregar) são:
- obter a solução
para todo (ou seja, construir a solução global), - representar graficamente a solução (descrever como plotar e o comportamento),
- discutir a solução (continuidade, saltos, comportamento no longo prazo etc.).
Informações relevantes do enunciado:
- Há dois impulsos (funções delta) localizados em
e com amplitudes e , respectivamente. - Para
diferente dos pontos de impulso, a equação é homogênea . - Condições iniciais em
: e . - Devemos considerar que a equação e os impulsos estão corretamente formulados.
Passo 2
Escolha do método (explicação curta e motivo): vou resolver por partes, usando a solução geral da equação homogênea em cada intervalo sem impulsos e usando as condições de salto que os deltas impõem. Por que isso funciona? Porque
-impulsos atuam instantaneamente e, ao integrar a equação sobre um intervalo muito pequeno que contenha o tempo do impulso, vemos que
permanece contínua mas
sofre um salto igual à intensidade do impulso (vou demonstrar isso já). Esse método é direto para provas: evita transformadas pesadas e dá fórmulas explícitas intervalares fáceis de avaliar/plotar.
Pequena aula sobre o salto causado por
: integramos a EDO em
e passamos ao limite
. Para um impulso
obtemos
O lado direito tende a
. O termo
tende a zero quando
(área de uma função finita em intervalo infinitesimal). O lado esquerdo dá
. Logo
Isto é a ferramenta-chave.
Passo 3
Solução geral da homogênea e intervalo inicial [0\le t<\tfrac{1}{2}).
A equação homogênea associada é
A equação característica é
com raízes
. Portanto a solução geral é
onde
são constantes a determinar por condições iniciais no intervalo.
Usamos as condições iniciais em
. Calcule
e
:
Resolvendo o sistema
somando:
.
Portanto, para
,
Passo 4
Avaliar a solução imediatamente antes do primeiro impulso (
) e usar a regra de salto.
Calcule
e
em
usando a expressão do passo anterior.
Em bloco:
Agora o impulso em
tem amplitude
. Pela fórmula do salto,
Logo
Passo 5
Construir a solução para
(entre os impulsos).
Novamente, a solução é da forma
onde
são determinados impondo continuidade em
e derivada igual ao valor após o salto.
Impondo:
Some-se as duas equações e divide por
para obter
; subtrai-se para obter
. Fazendo isso obtemos (cálculo direto mostrado):
Assim
Portanto, para
,
(A expressão pode ser reescrita agrupando termos em
e
ou em funções hiperbólicas, se preferir.)
Passo 6
Avaliar a solução imediatamente antes do segundo impulso (
) e aplicar o salto do segundo impulso.
Primeiro calculamos
e
usando a expressão do passo anterior (substituir
).
Em bloco:
logo
Agora o impulso em
tem amplitude
. Pela regra do salto:
Assim
Passo 7
Construir a solução para
.
Como antes, a solução é
Impondo condições em
(continuidade e derivada após salto):
Somando e subtraindo as equações obtemos
e
; fazendo as contas (mostrar o passo algébrico):
Some:
Logo
portanto
Subtraia:
logo
e
Portanto, para
,
Passo 8
Resumo das peças (organização final) e verificação de propriedades importantes.
As três expressões obtidas são:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Verificações/observações:
- Em cada fronteira
e , é contínua (construímos as constantes para garantir isso). - As descontinuidades aparecem em
: em o salto é ; em o salto é , exatamente as amplitudes dadas pelos deltas. - A solução é composta por combinações de
e . Como cresce e decai, o termo em domina para grande; no entanto, aqui as constantes multiplicadoras mudam por conta dos impulsos. Note que o segundo impulso grande e negativo ( ) pode reduzir muito o coeficiente do termo crescente, mesmo invertendo sinal dependendo do valor numérico; no nosso caso o coeficiente final de é (num valor aproximado isso pode ser avaliado para ver se é positivo ou negativo). - Física/intuition: os deltas aplicam “impulsos de velocidade” instantâneos (saltos na derivada), sem mudar a posição
naquele instante.
Passo 9
Como representar graficamente e código de plotagem sugerido (dicas práticas para a prova/PC):
Para desenhar a solução no computador, trace
por partes nos intervalos
,
e
com
escolhido (por exemplo
ou
). Em pseudo-código Python/Matplotlib:
Em texto (sem executar aqui), a ideia é:
- definir funções y1(t), y2(t), y3(t) correspondentes às fórmulas acima;
- plotar y1 em
, y2 em , y3 em ; - marcar com um traço vertical pequeno ou pontos a continuidade em
e ; - para ver os saltos em
pode-se plotar também por partes usando derivadas das expressões (fácil: derivada de é ).
Com isso você verá: curva suave que muda de perfil em
e
(sem saltos em
), com inclinações abruptas nos instantes dos impulsos.