Mostrando os detalhes do que fizer, obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=25 t-100 \delta(t-\pi), \quad y(0)=-2, \quad y^{\prime}(0)=5

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea com condições iniciais e termo que contém uma delta de Dirac:
y''+2y'+5y=25t-100\delta(t-\pi), \qquad y(0)=-2,\qquad y'(0)=5.
O que nos pedem: obter a solução y(t), representá-la graficamente e discutir seu comportamento. Informações relevantes que temos:
  • Forcing composto por dois termos: um polinomial 25t e um impulso -100\delta(t-\pi).
  • Condições iniciais em t=0: y(0)=-2 e y'(0)=5.
  • A delta está localizada em t=\pi>0, portanto age somente a partir desse tempo.
    Nada mais será assumido; a solução deve incorporar ambos os efeitos (o forçamento contínuo e o efeito instantâneo da delta).

Passo 2

Estratégia (apenas para organizar a solução; não é um passo de contas): é conveniente decompor o problema em duas partes usando a linearidade:
  1. Resolver a EDO com o termo contínuo 25t (ou seja, sem a delta) com as condições iniciais dadas — isso nos dá a solução antes do impulso e também a solução “livre” que existiria na ausência do impulso.
  2. Determinar a resposta ao impulso \delta(t) do sistema (a função resposta ao impulso, ou função de Green)—isto é, a solução da EDO homogênea forçada por \delta(t) com condições nulas. A resposta ao impulso deslocada e multiplicada pela intensidade do impulso nos dá o efeito do termo -100\delta(t-\pi).
  3. Somar as duas contribuições (superposição): solução sem impulso mais contribuição do impulso deslocado.
Vou aplicar esse plano com cálculos detalhados passo a passo.

Passo 3

Começamos encontrando a solução particular para o forçamento polinomial 25t (ignorar momentaneamente a delta). Procuramos uma solução particular polinomial do mesmo grau que o forçamento:
Proponho y_p(t)=a t + b. Então
y_p'(t)=a,\qquad y_p''(t)=0.
Substituindo na EDO (sem delta):
0 + 2a + 5(at+b) = 25t.
Agrupando coeficientes de t e constantes:
  • Coeficiente de t: 5a = 25 \Rightarrow a=5.
  • Termo constante: 2a + 5b = 0 \Rightarrow 2\cdot 5 + 5b = 0 \Rightarrow b=-2.
    Logo a solução particular é
y_p(t)=5t-2.

Passo 4

Agora resolvemos a equação homogênea associada
y''+2y'+5y=0.
A equação característica é
r^2+2r+5=0.
Resolvendo:
r = \frac{-2\pm\sqrt{4-20}}{2} = -1 \pm 2i.
Portanto a solução geral homogênea é da forma
y_h(t)=e^{-t}\big(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t\big).
A solução geral (sem considerar a delta) é
y_0(t)=y_h(t)+y_p(t)=e^{-t}\big(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t\big)+5t-2.

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais em t=0 para determinar C_1 e C_2.
Primeiro y_0(0):
y_0(0)=C_1 + 5\cdot 0 -2 = C_1 -2.
Como y(0)=-2, obtemos C_1 -2 = -2 \Rightarrow C_1 = 0.
Agora derivamos y_0. Derivada da parte homogênea (usar produto):
\frac{d}{dt}\big[e^{-t}(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t)\big] = e^{-t}\big(-C_1\cos 2t - C_2\sin 2t\big) + e^{-t}\big(-2C_1\sin 2t + 2C_2\cos 2t\big).
Com C_1=0 isso simplifica para
e^{-t}C_2(2\cos 2t - \sin 2t).
Somando a derivada de 5t-2, que é 5, temos
y_0'(t)=e^{-t}C_2(2\cos 2t - \sin 2t) + 5.
Em t=0:
y_0'(0) = C_2(2\cdot 1 - 0) + 5 = 2C_2 +5.
Como y'(0)=5, segue 2C_2 +5 = 5 \Rightarrow C_2=0.
Portanto C_1=C_2=0 e a solução sem o impulso é muito simples:
y_0(t)=5t-2.
Isso é legal: as condições iniciais “anularam” a parte homogênea, então antes do impulso a solução é apenas a rampa 5t-2.

Passo 6

Agora tratamos do termo -100\delta(t-\pi). Pela linearidade, o efeito de um impulso -100\delta(t-\pi) é -100 vezes a resposta ao impulso do sistema, deslocada para começar em t=\pi. Precisamos então da função resposta ao impulso G(t), definida como a solução de
G''+2G'+5G=\delta(t), \qquad G(0^-)=0,\\ G(0^+)=0,\\ G'(0^-)=0\\ (\text{condições causais}).çõ
No domínio de Laplace, a transformada de G é 1/(s^2+2s+5). É mais direto inverter essa transformada reconhecendo a forma canônica:
s^2+2s+5=(s+1)^2+4.
Sabemos que
\mathcal{L}\{e^{-t}\sin 2t\}=\frac{2}{(s+1)^2+4}.
Dividindo por 2 obtemos
\mathcal{L}\left\{\tfrac12 e^{-t}\sin 2t\right\}=\frac{1}{(s+1)^2+4}.
Portanto a resposta ao impulso é
G(t)=\tfrac12 e^{-t}\sin 2t,\qquad t\ge 0.

Passo 7

Aplicando deslocamento e a intensidade do impulso: o termo -100\delta(t-\pi) gera a contribuição temporal
y_{\text{imp}}(t) = -100\; G(t-\pi)\; u(t-\pi),
onde u(t-\pi) é a função degrau de Heaviside (garante causalidade do termo deslocado). Substituindo G:
y_{\text{imp}}(t) = -100\cdot \tfrac12 e^{-(t-\pi)}\sin\big(2(t-\pi)\big)\; u(t-\pi).
Simplificando o fator -100\cdot \tfrac12 = -50, obtemos
y_{\text{imp}}(t) = -50\, e^{-(t-\pi)}\sin\big(2(t-\pi)\big)\; u(t-\pi).

Passo 8

Pela superposição, a solução completa é a soma da solução sem impulso y_0(t)=5t-2 e da resposta ao impulso:
y(t)=5t-2 -50\, e^{-(t-\pi)}\sin\big(2(t-\pi)\big)\; u(t-\pi).
Isto significa, em palavras:
  • Para 0\le t<\pi: y(t)=5t-2 (a rampa).
  • Em t=\pi a função é contínua porque \sin 0=0, então y(\pi^-)=y(\pi^+)=5\pi-2.
  • Para t>\pi: aparece uma oscilação amortecida iniciando com amplitude zero mas com derivada descontínua (o impulso gera um salto na derivada).

Passo 9

Verificação rápida do efeito do impulso na derivada (intuição física e checagem):
Integrando a EDO em torno de t=\pi (de \pi-\varepsilon a \pi+\varepsilon) e tomando \varepsilon\to0, apenas o termo y'' e a delta contribuem de ordem finita, o que dá
y'(\pi^+)-y'(\pi^-) = \int_{\pi^-}^{\pi^+} \! \big(25t -100\delta(t-\pi) - 2y' -5y\big)\,dt.
No limite o lado direito dá simplesmente -100. Logo a derivada sofre um salto de -100:
y'(\pi^+) = y'(\pi^-) - 100.
Usando a solução encontrada: imediatamente antes de \pi, y'(\pi^-)=5. A contribuição do termo adicional tem derivada em t=\pi^+ igual a -50\cdot 2 = -100 (ver cálculo direto do derivado de e^{-(t-\pi)}\sin(2(t-\pi)) em zero), então y'(\pi^+)=5-100=-95. Está consistente.

Passo 10

Discussão do comportamento assintótico e da forma gráfica:
  • Para t grande, o termo amortecido -50 e^{-(t-\pi)}\sin(2(t-\pi)) tende a zero exponencialmente, então
y(t)\sim 5t-2 \quad\text{quando } t\to\infty.
Isto significa que o impulso apenas adiciona uma oscilação amortecida localizada a partir de t=\pi, mas não altera o crescimento linear dominante induzido pelo termo 25t.
  • Gráfica qualitativa:
    • De t=0 até t=\pi: reta com inclinação 5 e intercepto -2.
    • Em t=\pi: valor contínuo, mudança abrupta na inclinação (derivada) devido ao impulso.
    • Para t>\pi: sobre a reta 5t-2 aparece uma oscilação do tipo sinusóide com frequência angular 2 (período \pi), multiplicada por um decaimento exponencial e^{-(t-\pi)} e amplitude inicial efetiva controlada por -50. Assim veremos uma oscilação amortecida cujo envelope é \pm 50 e^{-(t-\pi)}.
  • Como o amortecimento é e^{-(t-\pi)} (taxa 1), as oscilações desaparecem em poucos períodos (a cada unidade de tempo a amplitude é reduzida por e^{-1}\approx 0,37).

Passo 11

Como representar graficamente em software (instruções práticas):
  • Em Python (matplotlib / numpy) podemos definir a função degrau u(t-\pi) e traçar y(t) em um intervalo, por exemplo t\in[0,\,\pi+10]. Exemplo de pseudocódigo (explicativo, não executável aqui):
\text{t = np.linspace(0, \pi+10, 2000)}\\\ \text{u = (t>=np.pi).astype(float)}\\\ \text{y = 5*t - 2 - 50*u*np.exp(-(t-np.pi))*np.sin(2*(t-np.pi))}
Traçar t vs y mostra a rampa até \pi e a oscilação amortecida a partir de \pi.
  • Pontos para observar no gráfico: continuidade em t=\pi, salto na derivada, decaimento exponencial da oscilação, e a reta dominante para grandes t.

Passo 12

Resumo pedagogicamente claro (como fazer na prova):
  • Encontre uma solução particular para o termo contínuo (aqui 25t y_p=5t-2).
  • Resolva a homogênea (raízes -1\pm 2i e^{-t}(C_1\cos2t+C_2\sin2t)) e use as condições iniciais para ajustar constantes.
  • Calcule a resposta ao impulso G(t) como inversa de \mathcal{L}\{1/(s^2+2s+5)\} (aqui G(t)=\tfrac12 e^{-t}\sin 2t).
  • A contribuição do impulso -100\delta(t-\pi) é -100G(t-\pi)u(t-\pi).
  • Some as partes, verifique continuidade e salto na derivada e descreva o comportamento assintótico.

Resposta

y(t)=5t-2-50\,u(t-\pi)\,e^{-(t-\pi)}\sin\big(2(t-\pi)\big)

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