Mostrando os detalhes do que fizer, obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea com condições iniciais e termo que contém uma delta de Dirac:
O que nos pedem: obter a solução
, representá-la graficamente e discutir seu comportamento. Informações relevantes que temos:
- Forcing composto por dois termos: um polinomial
e um impulso . - Condições iniciais em
: e . - A delta está localizada em
, portanto age somente a partir desse tempo.
Nada mais será assumido; a solução deve incorporar ambos os efeitos (o forçamento contínuo e o efeito instantâneo da delta).
Passo 2
Estratégia (apenas para organizar a solução; não é um passo de contas): é conveniente decompor o problema em duas partes usando a linearidade:
- Resolver a EDO com o termo contínuo
(ou seja, sem a delta) com as condições iniciais dadas — isso nos dá a solução antes do impulso e também a solução “livre” que existiria na ausência do impulso. - Determinar a resposta ao impulso
do sistema (a função resposta ao impulso, ou função de Green)—isto é, a solução da EDO homogênea forçada por com condições nulas. A resposta ao impulso deslocada e multiplicada pela intensidade do impulso nos dá o efeito do termo . - Somar as duas contribuições (superposição): solução sem impulso mais contribuição do impulso deslocado.
Vou aplicar esse plano com cálculos detalhados passo a passo.
Passo 3
Começamos encontrando a solução particular para o forçamento polinomial
(ignorar momentaneamente a delta). Procuramos uma solução particular polinomial do mesmo grau que o forçamento:
Proponho . Então
Proponho
Substituindo na EDO (sem delta):
Agrupando coeficientes de
e constantes:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Logo a solução particular é
Passo 4
Agora resolvemos a equação homogênea associada
A equação característica é
Resolvendo:
Portanto a solução geral homogênea é da forma
A solução geral (sem considerar a delta) é
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais em
para determinar
e
.
Primeiro :
Primeiro
Como
, obtemos
Agora derivamos . Derivada da parte homogênea (usar produto):
Agora derivamos
Com
isso simplifica para
Somando a derivada de
, que é
, temos
Em
:
Como
, segue
Portanto e a solução sem o impulso é muito simples:
Portanto
Isso é legal: as condições iniciais “anularam” a parte homogênea, então antes do impulso a solução é apenas a rampa
.
Passo 6
Agora tratamos do termo
. Pela linearidade, o efeito de um impulso
é
vezes a resposta ao impulso do sistema, deslocada para começar em
. Precisamos então da função resposta ao impulso
, definida como a solução de
No domínio de Laplace, a transformada de
é
. É mais direto inverter essa transformada reconhecendo a forma canônica:
Sabemos que
Dividindo por
obtemos
Portanto a resposta ao impulso é
Passo 7
Aplicando deslocamento e a intensidade do impulso: o termo
gera a contribuição temporal
onde
é a função degrau de Heaviside (garante causalidade do termo deslocado). Substituindo
:
Simplificando o fator
, obtemos
Passo 8
Pela superposição, a solução completa é a soma da solução sem impulso
e da resposta ao impulso:
Isto significa, em palavras:
- Para
: (a rampa). - Em
a função é contínua porque , então . - Para
: aparece uma oscilação amortecida iniciando com amplitude zero mas com derivada descontínua (o impulso gera um salto na derivada).
Passo 9
Verificação rápida do efeito do impulso na derivada (intuição física e checagem):
Integrando a EDO em torno de (de
a
) e tomando
, apenas o termo
e a delta contribuem de ordem finita, o que dá
Integrando a EDO em torno de
No limite o lado direito dá simplesmente
. Logo a derivada sofre um salto de
:
Usando a solução encontrada: imediatamente antes de
,
. A contribuição do termo adicional tem derivada em
igual a
(ver cálculo direto do derivado de
em zero), então
. Está consistente.
Passo 10
Discussão do comportamento assintótico e da forma gráfica:
- Para
grande, o termo amortecido tende a zero exponencialmente, então
Isto significa que o impulso apenas adiciona uma oscilação amortecida localizada a partir de
, mas não altera o crescimento linear dominante induzido pelo termo
.
- Gráfica qualitativa:
- De
até : reta com inclinação e intercepto . - Em
: valor contínuo, mudança abrupta na inclinação (derivada) devido ao impulso. - Para
: sobre a reta aparece uma oscilação do tipo sinusóide com frequência angular (período ), multiplicada por um decaimento exponencial e amplitude inicial efetiva controlada por . Assim veremos uma oscilação amortecida cujo envelope é .
- De
- Como o amortecimento é
(taxa ), as oscilações desaparecem em poucos períodos (a cada unidade de tempo a amplitude é reduzida por ).
Passo 11
Como representar graficamente em software (instruções práticas):
- Em Python (matplotlib / numpy) podemos definir a função degrau
e traçar em um intervalo, por exemplo . Exemplo de pseudocódigo (explicativo, não executável aqui):
Traçar
vs
mostra a rampa até
e a oscilação amortecida a partir de
.
- Pontos para observar no gráfico: continuidade em
, salto na derivada, decaimento exponencial da oscilação, e a reta dominante para grandes .
Passo 12
Resumo pedagogicamente claro (como fazer na prova):
- Encontre uma solução particular para o termo contínuo (aqui
→ ). - Resolva a homogênea (raízes
→ ) e use as condições iniciais para ajustar constantes. - Calcule a resposta ao impulso
como inversa de (aqui ). - A contribuição do impulso
é . - Some as partes, verifique continuidade e salto na derivada e descreva o comportamento assintótico.