Quarta Questão ( 3,0 \mathrm{pts} ): Considere o campo vetorial dado por
x z \overrightarrow{\mathrm{\imath}}+y z \vec{\jmath}+8 \vec{k}
Calcule o fluxo do campo através da superfície que consiste da porção do cone de equação z^{2}=4\left(x^{2}+y^{2}\right) contida entre os planos z=0 e z=6, com orientação para baixo.

Passo 1

O problema pede o fluxo do campo vetorial dado por
x z \,\overrightarrow{\imath}+y z \,\overrightarrow{\jmath}+8\,\overrightarrow{k}
através da superfície que é a porção do cone de equação
z^{2}=4\left(x^{2}+y^{2}\right)
contida entre os planos z=0 e z=6, com orientação para baixo.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
\text{Campo: } \mathbf{F}(x,y,z)=x z \,\mathbf{i}+y z \,\mathbf{j}+8\,\mathbf{k}.
\text{Superfície: porção do cone } z^{2}=4(x^{2}+y^{2}), \text{ entre } z=0 \text{ e } z=6.íçã
Observação geométrica (tirada do enunciado): para z\ge 0 a superfície é dada por
z=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Quando z=6 obtemos o raio máximo da seção circular r do cone:
6 = 2r \implies r=3.
A orientação pedida é “para baixo” (isto é, o vetor normal deve ter componente z negativa).

Passo 2

Escolha do método: vou parametrizar a superfície diretamente em coordenadas cilíndricas e calcular o fluxo pela fórmula
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS
usando \mathbf{n}\,dS = \pm(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v)\,du\,dv. Esse método é direto, prático para superfícies dadas por relação simples entre z e r=\sqrt{x^2+y^2}, e permite controlar facilmente a orientação (escolhemos o sinal que dá normal com componente z negativa).
Explicação rápida da ideia: parametrizamos a superfície por dois parâmetros (um radial e um angular), calculamos o produto vetorial das derivadas parciais para obter o elemento de área orientado e fazemos o produto escalar com \mathbf{F} avaliado na superfície.

Passo 3

Parametrização da porção cônica. Use parâmetros u (radial) e \theta (angular):
\mathbf{r}(u,\theta)=\langle u\cos\theta,\;u\sin\theta,\;2u\rangle,
com
0\le u\le 3,\qquad 0\le\theta\le 2\pi.
Aqui u representa r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e z=2u vem da equação do cone; \theta é o ângulo polar.

Passo 4

Calcule as derivadas parciais e o produto vetorial:
\mathbf{r}_u=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}=\langle\cos\theta,\;\sin\theta,\;2\rangle,
\mathbf{r}_\theta=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}=\langle -u\sin\theta,\;u\cos\theta,\;0\rangle.
O produto vetorial é (fazendo a expansão da determinante):
\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_\theta=\langle -2u\cos\theta,\;-2u\sin\theta,\;u\rangle.
Interpretação: a componente z desse vetor é u>0, ou seja, aponta para cima. Mas queremos orientação para baixo (com componente z negativa), portanto o elemento de área orientado que usaremos é
\mathbf{n}\,dS = -(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_\theta)\,du\,d\theta = \langle 2u\cos\theta,\;2u\sin\theta,\;-u\rangle\,du\,d\theta.

Passo 5

Avalie o campo na superfície parametrizada. Substituindo x=u\cos\theta, y=u\sin\theta, z=2u em \mathbf{F}:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,\theta))=\langle xz,\;yz,\;8\rangle =\langle 2u^{2}\cos\theta,\;2u^{2}\sin\theta,\;8\rangle.

Passo 6

Calcule o produto escalar \mathbf{F}\cdot(\mathbf{n}\,dS):
\mathbf{F}\cdot(\mathbf{n}\,dS) =\langle 2u^{2}\cos\theta,\;2u^{2}\sin\theta,\;8\rangle\cdot\langle 2u\cos\theta,\;2u\sin\theta,\;-u\rangle\,du\,d\theta.
Faço o produto escalar termo a termo:
2u^{2}\cos\theta\cdot 2u\cos\theta + 2u^{2}\sin\theta\cdot 2u\sin\theta + 8\cdot(-u) =4u^{3}\cos^{2}\theta + 4u^{3}\sin^{2}\theta -8u.
Como \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, isso simplifica para
4u^{3}-8u.
Portanto o integrando do fluxo é 4u^{3}-8u.

Passo 7

Calcule a integral dupla sobre a região dos parâmetros:
\Phi=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{u=0}^{3}\left(4u^{3}-8u\right)\,du\,d\theta.
Primeiro a integral em u:
\int_{0}^{3}\left(4u^{3}-8u\right)\,du =\left[u^{4}-4u^{2}\right]_{0}^{3} =3^{4}-4\cdot 3^{2}=81-36=45.
Agora a integral em \theta:
\Phi=\int_{0}^{2\pi}45\,d\theta =45\cdot 2\pi =90\pi.

Passo 8

Checagem rápida por divergência (confirmação): a divergência é
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(xz)+\frac{\partial}{\partial y}(yz)+\frac{\partial}{\partial z}(8)=z+z+0=2z.
O volume dentro do cone entre z=0 e z=6 dá, via teorema da divergência, fluxo total pelo cone (mais a tampa em z=6). Calculando a contribuição da tampa em z=6 (que é \iint 8\,dS=8\pi\cdot 3^{2}=72\pi) e subtraindo do fluxo total obtido pela integral da divergência (que dá 162\pi) resulta em 162\pi-72\pi=90\pi, concordando com o cálculo direto acima. Isso confirma que o resultado está consistente.

Resposta

90\pi

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