Quarta Questão (
): Considere o campo vetorial dado por
Calcule o fluxo do campo através da superfície que consiste da porção do cone de equação
contida entre os planos
e
, com orientação para baixo.
Passo 1
O problema pede o fluxo do campo vetorial dado por
através da superfície que é a porção do cone de equação
contida entre os planos
e
, com orientação para baixo.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Observação geométrica (tirada do enunciado): para
a superfície é dada por
Quando
obtemos o raio máximo da seção circular
do cone:
A orientação pedida é “para baixo” (isto é, o vetor normal deve ter componente
negativa).
Passo 2
Escolha do método: vou parametrizar a superfície diretamente em coordenadas cilíndricas e calcular o fluxo pela fórmula
usando
. Esse método é direto, prático para superfícies dadas por relação simples entre
e
, e permite controlar facilmente a orientação (escolhemos o sinal que dá normal com componente
negativa).
Explicação rápida da ideia: parametrizamos a superfície por dois parâmetros (um radial e um angular), calculamos o produto vetorial das derivadas parciais para obter o elemento de área orientado e fazemos o produto escalar com
avaliado na superfície.
Passo 3
Parametrização da porção cônica. Use parâmetros
(radial) e
(angular):
com
Aqui
representa
e
vem da equação do cone;
é o ângulo polar.
Passo 4
Calcule as derivadas parciais e o produto vetorial:
O produto vetorial é (fazendo a expansão da determinante):
Interpretação: a componente
desse vetor é
, ou seja, aponta para cima. Mas queremos orientação para baixo (com componente
negativa), portanto o elemento de área orientado que usaremos é
Passo 5
Avalie o campo na superfície parametrizada. Substituindo
,
,
em
:
Passo 6
Calcule o produto escalar
:
Faço o produto escalar termo a termo:
Como
, isso simplifica para
Portanto o integrando do fluxo é
.
Passo 7
Calcule a integral dupla sobre a região dos parâmetros:
Primeiro a integral em
:
Agora a integral em
:
Passo 8
Checagem rápida por divergência (confirmação): a divergência é
O volume dentro do cone entre
e
dá, via teorema da divergência, fluxo total pelo cone (mais a tampa em
). Calculando a contribuição da tampa em
(que é
) e subtraindo do fluxo total obtido pela integral da divergência (que dá
) resulta em
, concordando com o cálculo direto acima. Isso confirma que o resultado está consistente.