\int_{1}^{e} \frac{x-1}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral definida
\int_{1}^{e} \frac{x-1}{\sqrt{x}}\,dx.
Informações dadas e observações úteis: os limites de integração são 1 e e. O integrando é \frac{x-1}{\sqrt{x}}. Note que em todo o intervalo [1,e] a raiz quadrada \sqrt{x} é positiva, então não há problema de descontinuidade no integrando.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar o integrando para facilitar a integração. Use que \sqrt{x}=x^{1/2} e regras de potência para divisão (subtrair expoentes). Assim,
\frac{x-1}{\sqrt{x}}=\frac{x}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{1/2}-x^{-1/2}.
Explicação: dividir x por x^{1/2} x^{1-1/2}=x^{1/2}. E dividir 1 por x^{1/2} x^{-1/2}.

Passo 3

Lembrando a regra básica de integração (regra da potência): para qualquer real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n representa o expoente da potência de x. Não podemos usar essa fórmula quando n=-1 porque aí resultaríamos em divisão por zero (no caso n=-1 a integral é \ln|x|). No nosso integrando temos duas potências com n=\tfrac{1}{2} e n=-\tfrac{1}{2}, ambas diferentes de -1, então podemos aplicar a fórmula.

Passo 4

Aplicando a regra termo a termo:
  • Para x^{1/2}, com n=\tfrac{1}{2},
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}.
(Explicação: dividir por 3/2 é multiplicar por 2/3.)
  • Para x^{-1/2}, com n=-\tfrac{1}{2},
\int x^{-1/2}\,dx=\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1}=\frac{x^{1/2}}{1/2}=2x^{1/2}.
Logo uma primitiva (função antiderivada) do integrando é
F(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}-2x^{1/2}.

Passo 5

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é F(e)-F(1). Calculamos:
F(e)=\frac{2}{3}e^{3/2}-2e^{1/2},
F(1)=\frac{2}{3}\cdot1^{3/2}-2\cdot1^{1/2}=\frac{2}{3}-2=-\frac{4}{3}.
Subtraindo,
\int_{1}^{e}\frac{x-1}{\sqrt{x}}\,dx=\left(\frac{2}{3}e^{3/2}-2e^{1/2}\right)-\left(-\frac{4}{3}\right) =\frac{2}{3}e^{3/2}-2e^{1/2}+\frac{4}{3}.
Observação rápida: podemos escrever e^{1/2}=\sqrt{e} e e^{3/2}=e\sqrt{e} se preferir visualizar com raízes.

Resposta

\frac{2}{3}e^{3/2}-2e^{1/2}+\frac{4}{3}

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