Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral definida
Informações dadas e observações úteis: os limites de integração são
e
. O integrando é
. Note que em todo o intervalo
a raiz quadrada
é positiva, então não há problema de descontinuidade no integrando.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar o integrando para facilitar a integração. Use que
e regras de potência para divisão (subtrair expoentes). Assim,
Explicação: dividir
por
dá
. E dividir
por
dá
.
Passo 3
Lembrando a regra básica de integração (regra da potência): para qualquer real
,
Aqui
representa o expoente da potência de
. Não podemos usar essa fórmula quando
porque aí resultaríamos em divisão por zero (no caso
a integral é
). No nosso integrando temos duas potências com
e
, ambas diferentes de
, então podemos aplicar a fórmula.
Passo 4
Aplicando a regra termo a termo:
- Para
, com ,
(Explicação: dividir por
é multiplicar por
.)
- Para
, com ,
Logo uma primitiva (função antiderivada) do integrando é
Passo 5
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é
. Calculamos:
Subtraindo,
Observação rápida: podemos escrever
e
se preferir visualizar com raízes.