1. Mostrar, com cálculo explícito das derivadas, que a função \mathrm{y}(\mathrm{x}, \mathrm{t})=\mathrm{A} sen (\mathrm{kx}+\omega \mathrm{t}) é solução da equação de onda, para \mathrm{v}=\omega / \mathrm{k}.

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{y}(\mathrm{x},\mathrm{t})=\mathrm{A}\operatorname{sen}(\mathrm{kx}+\omega \mathrm{t}) e pede para mostrar, com cálculo explícito das derivadas, que essa função é solução da equação de onda quando \mathrm{v}=\omega/\mathrm{k}. Informações relevantes fornecidas:
\mathrm{A} é a amplitude (constante), \mathrm{k} é o número de onda (constante), \omega é a frequência angular (constante). A equação de onda que vamos verificar é a forma usual
\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}.
Nada mais do enunciado é necessário; agora vamos calcular as derivadas parciais e verificar essa igualdade.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (bem devagarinho):
  • Derivada da função seno: se u é uma função de x e t, então \dfrac{d}{du}\sin(u)=\cos(u).
  • Regra da cadeia: \dfrac{\partial}{\partial x}\sin(u(x,t))=\cos(u(x,t))\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}. Ou seja, derivamos o seno em relação a u e multiplicamos pela derivada de u em relação à variável que estamos diferenciando.
  • Para derivadas parciais, ao derivar em relação a x mantemos t constante, e ao derivar em relação a t mantemos x constante.
Aplicaremos essas duas ideias à função com u(x,t)=\mathrm{kx}+\omega t.

Passo 3

Calculemos a derivada parcial de primeira ordem em relação a x.
Temos u(x,t)=\mathrm{kx}+\omega t, então
\frac{\partial u}{\partial x}=\mathrm{k}.
Usando a regra da cadeia,
\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(A\sin(u)\bigr) = A\cos(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x} = A\cos(\mathrm{kx}+\omega t)\cdot \mathrm{k}.
Portanto
\frac{\partial y}{\partial x}=A\mathrm{k}\cos(\mathrm{kx}+\omega t).

Passo 4

Agora a segunda derivada parcial em x. Diferenciando \dfrac{\partial y}{\partial x}=A\mathrm{k}\cos(\mathrm{kx}+\omega t) em relação a x:
primeiro, derivada de \cos(u) é -\sin(u) e \dfrac{\partial u}{\partial x}=\mathrm{k}. Assim
\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}} = A\mathrm{k}\cdot\bigl(-\sin(u)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial x} = -A\mathrm{k}\sin(\mathrm{kx}+\omega t)\cdot \mathrm{k} = -A\mathrm{k}^{2}\sin(\mathrm{kx}+\omega t).
Observação prática: isso pode ser escrito como
\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}=-\mathrm{k}^{2}y,
porque y=A\sin(\mathrm{kx}+\omega t).

Passo 5

Calculemos agora a derivada parcial de primeira ordem em relação a t.
Como antes, \dfrac{\partial u}{\partial t}=\omega. Então, aplicando a regra da cadeia,
\frac{\partial y}{\partial t} = A\cos(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial t} = A\omega\cos(\mathrm{kx}+\omega t).

Passo 6

Segunda derivada parcial em t. Diferenciando \dfrac{\partial y}{\partial t}=A\omega\cos(\mathrm{kx}+\omega t) em relação a t:
a derivada de \cos(u) é -\sin(u) e \dfrac{\partial u}{\partial t}=\omega. Assim
\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}} = A\omega\cdot\bigl(-\sin(u)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial t} = -A\omega\sin(\mathrm{kx}+\omega t)\cdot \omega = -A\omega^{2}\sin(\mathrm{kx}+\omega t).
Ou, usando y,
\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=-\omega^{2}y.

Passo 7

Agora substituímos \dfrac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}} e \dfrac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}} na equação de onda
\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}.
Do Passo 4 e Passo 6 temos \dfrac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}=-\mathrm{k}^{2}y e \dfrac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=-\omega^{2}y. Substituindo:
-\,\mathrm{k}^{2}y=\frac{1}{v^{2}}\bigl(-\,\omega^{2}y\bigr).
Se y não é a função nula (ou seja, \mathrm{A}\neq 0), podemos dividir ambos os lados por -y e obter
\mathrm{k}^{2}=\frac{\omega^{2}}{v^{2}}.
Rearranjando para v,
v^{2}=\frac{\omega^{2}}{\mathrm{k}^{2}}\quad\Rightarrow\quad v=\frac{\omega}{\mathrm{k}},
tomando a raiz positiva (velocidade escalar positiva).

Passo 8

Conclusão didática: mostramos explicitamente que, com as derivadas calculadas, a igualdade da equação de onda só se verifica quando v=\dfrac{\omega}{\mathrm{k}}. Em termos físicos, essa relação diz que a velocidade de propagação da onda é dada pela razão entre a frequência angular e o número de onda — coisa que aparece sempre em ondas harmônicas.

Resposta

\displaystyle v=\frac{\omega}{\mathrm{k}}

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