- Mostrar, com cálculo explícito das derivadas, que a função
sen
é solução da equação de onda, para
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar, com cálculo explícito das derivadas, que essa função é solução da equação de onda quando
. Informações relevantes fornecidas:
é a amplitude (constante),
é o número de onda (constante),
é a frequência angular (constante). A equação de onda que vamos verificar é a forma usual
Nada mais do enunciado é necessário; agora vamos calcular as derivadas parciais e verificar essa igualdade.
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (bem devagarinho):
- Derivada da função seno: se
é uma função de e , então . - Regra da cadeia:
. Ou seja, derivamos o seno em relação a e multiplicamos pela derivada de em relação à variável que estamos diferenciando. - Para derivadas parciais, ao derivar em relação a
mantemos constante, e ao derivar em relação a mantemos constante.
Aplicaremos essas duas ideias à função com
.
Passo 3
Calculemos a derivada parcial de primeira ordem em relação a
.
Temos , então
Temos
Usando a regra da cadeia,
Portanto
Passo 4
Agora a segunda derivada parcial em
. Diferenciando
em relação a
:
primeiro, derivada de é
e
. Assim
primeiro, derivada de
Observação prática: isso pode ser escrito como
porque
.
Passo 5
Calculemos agora a derivada parcial de primeira ordem em relação a
.
Como antes, . Então, aplicando a regra da cadeia,
Como antes,
Passo 6
Segunda derivada parcial em
. Diferenciando
em relação a
:
a derivada de é
e
. Assim
a derivada de
Ou, usando
,
Passo 7
Agora substituímos
e
na equação de onda
Do Passo 4 e Passo 6 temos
e
. Substituindo:
Se
não é a função nula (ou seja,
), podemos dividir ambos os lados por
e obter
Rearranjando para
,
tomando a raiz positiva (velocidade escalar positiva).
Passo 8
Conclusão didática: mostramos explicitamente que, com as derivadas calculadas, a igualdade da equação de onda só se verifica quando
. Em termos físicos, essa relação diz que a velocidade de propagação da onda é dada pela razão entre a frequência angular e o número de onda — coisa que aparece sempre em ondas harmônicas.