Um tanque esférico de gás tem raio interno r=1,5 \mathrm{~m}. Se for submetido a uma pressão interna p = 300 kPa , determine a espessura exigida para que a tensão normal máxima não ultrapasse 12 MPa .

Passo 1

O enunciado pede a espessura do casco esférico necessária para que a tensão normal máxima não ultrapasse 12\\ \mathrm{MPa}, dado que o raio interno é r=1,5\\ \mathrm{m} e a pressão interna é p=300\\ \mathrm{kPa}.
Informações fornecidas:
r=1,5\\ \mathrm{m},\qquad p=300\\ \mathrm{kPa},\qquad \sigma_{\max}=12\\ \mathrm{MPa}.
Pergunta a responder: determinar a espessura t exigida do tanque.

Passo 2

Vamos obter a relação entre pressão interna, geometria e tensão para uma casca esférica fina. Considere o equilíbrio de forças no hemisfério cortado por um plano que passa pelo centro. A pressão interna atua sobre a área projetada do hemisfério (área do círculo de raio r), gerando uma força resultante para cima igual a
F_p = p\cdot \pi r^2.
Essa força é equilibrada pela resultante das tensões membranares no anel de corte do casco. A força resistida pelo material ao longo da circunferência do corte, assumindo tensão tangencial uniforme \sigma e espessura t, é
F_\sigma = \sigma \cdot t \cdot (\text{circunferência}) = \sigma\cdot t \cdot 2\pi r.ê
Pela condição de equilíbrio vertical:
p\pi r^2 = \sigma\cdot t \cdot 2\pi r.
Cancelando \pi r dos dois lados obtemos a fórmula clássica para casca esférica fina:
\sigma = \frac{p\,r}{2\,t}.
Explicando cada símbolo: p é a pressão interna, r o raio interno, t a espessura do casco e \sigma a tensão normal (membrana) desenvolvida no material.

Passo 3

Isolamos t na fórmula para encontrar a espessura necessária para que \sigma não ultrapasse \sigma_{\max}:
t = \frac{p\,r}{2\,\sigma_{\max}}.
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro colocamos tudo em unidades do SI (Pa e m):
p=300\\ \mathrm{kPa}=300\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa},\qquad \sigma_{\max}=12\\ \mathrm{MPa}=12\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa},\qquad r=1,5\\ \mathrm{m}.
Calcule o numerador e o denominador:
p\,r = 300\times10^{3}\cdot 1,5 = 450\times10^{3},
2\,\sigma_{\max} = 2\cdot 12\times10^{6} = 24\times10^{6}.
Logo
t = \frac{450\times10^{3}}{24\times10^{6}} = 0,01875\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
0,01875\\ \mathrm{m} = 18,75\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Verificação da hipótese de casca fina: a aproximação de casca fina é aceitável se t/r \lesssim 0,1. Calculamos
\frac{t}{r}=\frac{0,01875}{1,5}=0,0125 = 1{,}25\%.
Como 1{,}25\% \ll 10\%, a suposição de casca fina é válida e a fórmula usada é apropriada.

Passo 5

Comentário prático e incentivo: o valor calculado é a espessura mínima teórica para não exceder a tensão admissível de 12\\ \mathrm{MPa}. Na prática costuma-se adotar um pouco mais de espessura para considerar fatores de segurança, corrosão, imperfeições de fabricação etc. Mas matematicamente, a espessura exigida é a calculada abaixo. Você já chegou longe — tá indo bem!

Resposta

\;t=0,01875\\ \mathrm{m}=18{,}75\\ \mathrm{mm}

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