- Um movimento harmônico simples é descrito pela função
, em unidades no Sistema Internacional. Determine:
a) a amplitude e a fase;
b) a frequência e o período de oscilação;
c) as funções da velocidade e da aceleração com o tempo.
a) a amplitude e a fase;
b) a frequência e o período de oscilação;
c) as funções da velocidade e da aceleração com o tempo.
Passo 1
O enunciado dá a função do movimento harmônico simples
em unidades do Sistema Internacional. As perguntas são:
a) determinar a amplitude e a fase;
b) determinar a frequência e o período de oscilação;
c) determinar as funções da velocidade e da aceleração em função do tempo.
Informações relevantes dadas: o coeficiente multiplicando o cosseno é e o argumento do cosseno é
.
a) determinar a amplitude e a fase;
b) determinar a frequência e o período de oscilação;
c) determinar as funções da velocidade e da aceleração em função do tempo.
Informações relevantes dadas: o coeficiente multiplicando o cosseno é
Passo 2
O que é amplitude e fase (explicação didática)?
- Para um movimento harmônico simples escrito na forma geral
temos:
-
é a amplitude: o valor máximo (em módulo) que a coordenada atinge; tem dimensão de comprimento (metros, no SI). É sempre não negativa e corresponde ao coeficiente multiplicando o cosseno. -
é a fase inicial (ou deslocamento de fase): medida em radianos, indica o deslocamento de fase no instante . Dois valores de fase que diferem por múltiplos inteiros de representam o mesmo deslocamento físico (fase definida módulo ).
Agora aplicamos isso à função dada.
Passo 3
Identificando amplitude e fase na função dada:
- Comparando
com , vemos que -
(unidade: metros). -
(unidade: radianos).
Observação: podemos também dizerou, se preferir, convertendo para graus.
-
Passo 4
O que é frequência e período e como obtê-los (explicação didática)?
- A velocidade angular
é o coeficiente multiplicando dentro do argumento do cosseno; suas unidades são rad/s. - Relação entre
, frequência (Hz) e período (s): - Aplicamos isso à função: identificar
e calcular e .
Passo 5
Identificando
e calculando
e
:
- Da função temos
(unidade: rad/s). - Então a frequência é
- O período é
Explicação curta: a frequência de
significa que o movimento completa
ciclos por segundo; o período
é o tempo para um ciclo completo.
Passo 6
Como obter velocidade
: regra de derivação (explicação didática)
- Velocidade é a derivada temporal da posição:
- Regra usada: derivada de
é (regra da cadeia). Aqui e .
Aplicamos passo a passo à nossa função.
Passo 7
Cálculo da velocidade:
- Começamos com
. - Derivando:
- Simplificando:
Explicação: o
inicial multiplicou o
, e o
veio da derivada do argumento.
Passo 8
Como obter aceleração
: duas formas e explicação
- Aceleração é a derivada da velocidade:
. - Alternativamente, para SHM com
vale a relação direta que resulta de duas derivações consecutivas (derivar duas vezes traz um fator ). Vou mostrar as duas formas e verificar que dão o mesmo resultado.
Passo 9
Cálculo da aceleração por derivação de
:
- Partindo de
, derivamos: - Simplificando:
Passo 10
Verificação usando
:
- Temos
e . Então
o que confirma o resultado obtido pela derivação direta.
Passo 11
Pequeno exemplo numérico de verificação (opcional, para intuição):
- No instante
:
Isto diz: no instante inicial a partícula passa pela origem com velocidade negativa máxima e aceleração nula — é uma verificação rápida que ajuda a entender o papel da fase.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)