1. Um movimento harmônico simples é descrito pela função x=3 \cos (3 \pi t+\pi / 2), em unidades no Sistema Internacional. Determine:
    a) a amplitude e a fase;
    b) a frequência e o período de oscilação;
    c) as funções da velocidade e da aceleração com o tempo.

Passo 1

O enunciado dá a função do movimento harmônico simples
x(t)=3\cos\!\bigl(3\pi t+\tfrac{\pi}{2}\bigr),
em unidades do Sistema Internacional. As perguntas são:
a) determinar a amplitude e a fase;
b) determinar a frequência e o período de oscilação;
c) determinar as funções da velocidade e da aceleração em função do tempo.
Informações relevantes dadas: o coeficiente multiplicando o cosseno é \,3 e o argumento do cosseno é \,3\pi t+\tfrac{\pi}{2}.

Passo 2

O que é amplitude e fase (explicação didática)?
  • Para um movimento harmônico simples escrito na forma geral
x(t)=A\cos\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
temos:
  • \,A é a amplitude: o valor máximo (em módulo) que a coordenada atinge; tem dimensão de comprimento (metros, no SI). É sempre não negativa e corresponde ao coeficiente multiplicando o cosseno.
  • \,\varphi é a fase inicial (ou deslocamento de fase): medida em radianos, indica o deslocamento de fase no instante t=0. Dois valores de fase que diferem por múltiplos inteiros de 2\pi representam o mesmo deslocamento físico (fase definida módulo 2\pi).
    Agora aplicamos isso à função dada.

Passo 3

Identificando amplitude e fase na função dada:
  • Comparando x(t)=3\cos\!\bigl(3\pi t+\tfrac{\pi}{2}\bigr) com x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), vemos que
    • \displaystyle A=3 (unidade: metros).
    • \displaystyle \varphi=\tfrac{\pi}{2} (unidade: radianos).
      Observação: podemos também dizer \varphi=\tfrac{\pi}{2}\,\mathrm{rad} ou, se preferir, \varphi=90^\circ convertendo para graus.

Passo 4

O que é frequência e período e como obtê-los (explicação didática)?
  • A velocidade angular \omega é o coeficiente multiplicando t dentro do argumento do cosseno; suas unidades são rad/s.
  • Relação entre \omega, frequência \,f (Hz) e período \,T (s): \omega=2\pi f,\qquad f=\frac{\omega}{2\pi},\qquad T=\frac{1}{f}.
  • Aplicamos isso à função: identificar \omega e calcular f e T.

Passo 5

Identificando \omega e calculando f e T:
  • Da função temos \displaystyle \omega=3\pi (unidade: rad/s).
  • Então a frequência é f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{3\pi}{2\pi}=\frac{3}{2}\\ \text{Hz}.
  • O período é T=\frac{1}{f}=\frac{1}{3/2}=\frac{2}{3}\\ \text{s}.
Explicação curta: a frequência de \tfrac{3}{2}\,\mathrm{Hz} significa que o movimento completa 1{,}5 ciclos por segundo; o período \tfrac{2}{3}\,\mathrm{s} é o tempo para um ciclo completo.

Passo 6

Como obter velocidade v(t): regra de derivação (explicação didática)
  • Velocidade é a derivada temporal da posição: v(t)=\frac{dx}{dt}.
  • Regra usada: derivada de \cos(u(t)) é -\sin(u(t))\cdot u'(t) (regra da cadeia). Aqui u(t)=\omega t+\varphi e u'(t)=\omega.
    Aplicamos passo a passo à nossa função.

Passo 7

Cálculo da velocidade:
  • Começamos com x(t)=3\cos\!\bigl(3\pi t+\tfrac{\pi}{2}\bigr).
  • Derivando: v(t)=\frac{dx}{dt}=3\cdot\bigl(-\sin\!\bigl(3\pi t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)\bigr)\cdot(3\pi).
  • Simplificando: v(t)=-9\pi\sin\!\bigl(3\pi t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)\quad\text{(unidade: m/s)}.
Explicação: o 3 inicial multiplicou o -\sin, e o 3\pi veio da derivada do argumento.

Passo 8

Como obter aceleração a(t): duas formas e explicação
  • Aceleração é a derivada da velocidade: a(t)=\dfrac{dv}{dt}.
  • Alternativamente, para SHM com x(t)=A\cos(\omega t+\varphi) vale a relação direta a(t)=-\omega^2 x(t),que resulta de duas derivações consecutivas (derivar \cos duas vezes traz um fator -\omega^2). Vou mostrar as duas formas e verificar que dão o mesmo resultado.

Passo 9

Cálculo da aceleração por derivação de v(t):
  • Partindo de v(t)=-9\pi\sin\!\bigl(3\pi t+\tfrac{\pi}{2}\bigr), derivamos: a(t)=\frac{dv}{dt}=-9\pi\cdot\cos\!\bigl(3\pi t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)\cdot(3\pi).
  • Simplificando: a(t)=-27\pi^{2}\cos\!\bigl(3\pi t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)\quad\text{(unidade: m/s}^2\text{)}.

Passo 10

Verificação usando a(t)=-\omega^2 x(t):
  • Temos \omega=3\pi e x(t)=3\cos\!\bigl(3\pi t+\tfrac{\pi}{2}\bigr). Então a(t)=-\omega^{2}x(t)=-(3\pi)^{2}\cdot 3\cos\!\bigl(3\pi t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-27\pi^{2}\cos\!\bigl(3\pi t+\tfrac{\pi}{2}\bigr),
o que confirma o resultado obtido pela derivação direta.

Passo 11

Pequeno exemplo numérico de verificação (opcional, para intuição):
  • No instante t=0: x(0)=3\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,
v(0)=-9\pi\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-9\pi\\ \text{m/s},
a(0)=-27\pi^{2}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
Isto diz: no instante inicial a partícula passa pela origem com velocidade negativa máxima e aceleração nula — é uma verificação rápida que ajuda a entender o papel da fase.

Resposta

a) A=3\\ \text{m},\\ \varphi=\tfrac{\pi}{2}\\ \text{rad}
b) f=\tfrac{3}{2}\\ \text{Hz},\\ T=\tfrac{2}{3}\\ \text{s}
c) v(t)=-9\pi\sin\!\bigl(3\pi t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)\\ \text{m/s},\quad a(t)=-27\pi^{2}\cos\!\bigl(3\pi t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)\\ \text{m/s}^{2}

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