Um trilho de aço (
) foi instalado à temperatura de
. Determine a tensão normal no trilho quando a temperatura alcança os
, considerando que os trilhos são (a) soldados a fim de assegurar continuidade e (b) tem
de comprimento com uma folga entre trilhos igual a
.
Passo 1
O enunciado dá um trilho de aço com as seguintes informações:
,
. O trilho foi instalado a
e a temperatura sobe para
. São pedidas as tensões normais nos dois casos abaixo:
(a) Trilhos soldados (continuidade total, ou seja, nenhuma expansão livre—totalmente restringidos).
(b) Trilhos com comprimento e folga entre trilhos
. Determinar se aparece tensão e, se sim, calcular seu valor.
(b) Trilhos com comprimento
Informações organizadas (para consulta rápida):
,
,
,
. Para (b):
,
.
Passo 2
Calcular a variação de temperatura
. A fórmula é simples:
. Substituindo os valores:
Isso significa que o trilho tenta crescer devido ao aquecimento correspondente a
.
Passo 3
Explicação do conceito útil 1 — dilatação térmica linear livre: se uma barra de comprimento
é aquecida em
e pode expandir livremente, o alongamento (variação de comprimento) é dado por
onde
é o coeficiente de dilatação linear (unidade:
). Aqui cada símbolo significa:
-
: alongamento se nada impedir a expansão (metros); -
: coeficiente de dilatação (por grau Celsius); -
: comprimento inicial (metros); -
: variação de temperatura (graus Celsius).
No caso completamente restrito (não deixa expandir), a barra quer expandir
em termos de deformação, mas é impedida, criando uma deformação mecânica igual e oposta que gera tensão.
Passo 4
Caso (a) — trilhos soldados (totalmente restritos).
Explicação do conceito útil 2 — tensão térmica em restrição total: se a dilatação natural é impedida completamente, a barra fica com uma deformação mecânica
(sinal negativo indica compressão) e, pela lei de Hooke (para comportamento elástico linear),
Explicação do conceito útil 2 — tensão térmica em restrição total: se a dilatação natural
Aqui:
-
é a tensão normal (Pa), com sinal negativo para compressão; -
é o módulo de Young (Pa); -
é a deformação (adimensional).
Agora calculemos numericamente:
Primeiro calculando o produto
:
Então
Convertendo para MPa:
Interpretação física rápida: como a temperatura aumentou e o trilho não pôde expandir, surgiram tensões de compressão de aproximadamente
.
Passo 5
Caso (b) — trilhos com folga
. Procedimento: primeiro calcular a dilatação livre total
. Se
, a folga absorve toda a expansão e não aparece tensão. Se
, então a parte excedente
é impedida, gerando deformação mecânica
e tensão
.
Calculemos
:
Em milímetros,
.
Comparando com a folga
: vemos que
logo a folga é insuficiente e aparece tensão quando a folga fecha. A parte impedida é
Passo 6
Calcular a tensão resultante em (b). A deformação mecânica causada (compressiva) é
Aplicando a lei de Hooke,
Convertendo para MPa:
Interpretação: a folga absorveu boa parte da dilatação; só a porção excedente gerou uma tensão de compressão relativamente pequena, cerca de
.
Passo 7
Resumo/checagens rápidas (como eu faria na prova):
- Computar
corretamente. - Usar
quando a peça estiver totalmente impedida de expandir. - Quando existe folga, calcular
e comparar com . Se exceder, a tensão é (obtida combinando e cancelando a parte livre ). - Unidades: sempre manter
em Pa, em m, em m, e convertir o resultado para MPa para leitura mais fácil.
Resposta
(a)
(compressão)
(b) (compressão)
(b)