Um trilho de aço ( \mathrm{E}_{\text {aço }}=200 \mathrm{GPa}, \alpha_{\text {aço }}= 11,7 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C}çç ) foi instalado à temperatura de -1,1 { }^{\circ} \mathrm{C}. Determine a tensão normal no trilho quando a temperatura alcança os 51,67^{\circ} \mathrm{C}, considerando que os trilhos são (a) soldados a fim de assegurar continuidade e (b) tem 11,89 \mathrm{~m} de comprimento com uma folga entre trilhos igual a 6,35 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado dá um trilho de aço com as seguintes informações:
\mathrm{E}_{\text{aço}} = 200\\ \mathrm{GPa}ç, \alpha_{\text{aço}} = 11{,}7\times10^{-6}\\ /^\circ\mathrm{C}ç. O trilho foi instalado a -1{,}1^\circ\mathrm{C} e a temperatura sobe para 51{,}67^\circ\mathrm{C}. São pedidas as tensões normais nos dois casos abaixo:
(a) Trilhos soldados (continuidade total, ou seja, nenhuma expansão livre—totalmente restringidos).
(b) Trilhos com comprimento 11{,}89\\ \mathrm{m} e folga entre trilhos 6{,}35\\ \mathrm{mm}. Determinar se aparece tensão e, se sim, calcular seu valor.
Informações organizadas (para consulta rápida):
\mathrm{E}=200\\ \mathrm{GPa}, \alpha=11{,}7\times10^{-6}\\ /^\circ\mathrm{C}, T_{\text{ini}}=-1{,}1^\circ\mathrm{C}, T_{\text{fim}}=51{,}67^\circ\mathrm{C}. Para (b): L=11{,}89\\ \mathrm{m}, g=6{,}35\\ \mathrm{mm}=0{,}00635\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Calcular a variação de temperatura \Delta T. A fórmula é simples: \Delta T = T_{\text{fim}} - T_{\text{ini}}. Substituindo os valores:
\Delta T = 51{,}67^\circ\mathrm{C} - (-1{,}1^\circ\mathrm{C}) = 52{,}77^\circ\mathrm{C}.
Isso significa que o trilho tenta crescer devido ao aquecimento correspondente a \Delta T = 52{,}77^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Explicação do conceito útil 1 — dilatação térmica linear livre: se uma barra de comprimento L é aquecida em \Delta T e pode expandir livremente, o alongamento (variação de comprimento) é dado por
\Delta L_{\text{livre}} = \alpha\,L\,\Delta T,
onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade: /^\circ\mathrm{C}). Aqui cada símbolo significa:
  • \Delta L_{\text{livre}}: alongamento se nada impedir a expansão (metros);
  • \alpha: coeficiente de dilatação (por grau Celsius);
  • L: comprimento inicial (metros);
  • \Delta T: variação de temperatura (graus Celsius).
No caso completamente restrito (não deixa expandir), a barra quer expandir \alpha\Delta T em termos de deformação, mas é impedida, criando uma deformação mecânica igual e oposta que gera tensão.

Passo 4

Caso (a) — trilhos soldados (totalmente restritos).
Explicação do conceito útil 2 — tensão térmica em restrição total: se a dilatação natural \alpha\Delta T é impedida completamente, a barra fica com uma deformação mecânica \varepsilon = -\alpha\Delta T (sinal negativo indica compressão) e, pela lei de Hooke (para comportamento elástico linear),
\sigma = E\,\varepsilon = -E\,\alpha\,\Delta T.
Aqui:
  • \sigma é a tensão normal (Pa), com sinal negativo para compressão;
  • E é o módulo de Young (Pa);
  • \varepsilon é a deformação (adimensional).
Agora calculemos numericamente:
\sigma_{(a)} = -E\,\alpha\,\Delta T = -\left(200\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}\right)\left(11{,}7\times10^{-6}\\ /^\circ\mathrm{C}\right)\left(52{,}77^\circ\mathrm{C}\right).
Primeiro calculando o produto \alpha\Delta T:
\alpha\Delta T = 11{,}7\times10^{-6}\times 52{,}77 = 6{,}17409\times10^{-4}.
Então
\sigma_{(a)} = -200\times10^{9}\times 6{,}17409\times10^{-4} = -1{,}234818\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para MPa:
\sigma_{(a)} \approx -123{,}48\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação física rápida: como a temperatura aumentou e o trilho não pôde expandir, surgiram tensões de compressão de aproximadamente -123{,}5\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Caso (b) — trilhos com folga g. Procedimento: primeiro calcular a dilatação livre total \Delta L_{\text{livre}}. Se \Delta L_{\text{livre}}\le g, a folga absorve toda a expansão e não aparece tensão. Se \Delta L_{\text{livre}}>g, então a parte excedente \Delta = \Delta L_{\text{livre}}-g é impedida, gerando deformação mecânica \varepsilon_{\text{mec}} = -\dfrac{\Delta}{L} e tensão \sigma = E\varepsilon_{\text{mec}} = -E\,\dfrac{\Delta}{L}.
Calculemos \Delta L_{\text{livre}}:
\Delta L_{\text{livre}} = \alpha\,L\,\Delta T = 11{,}7\times10^{-6}\times 11{,}89\\ \mathrm{m}\times 52{,}77 = 0{,}00734094621\\ \mathrm{m}.
Em milímetros, \Delta L_{\text{livre}}\approx 7{,}34095\\ \mathrm{mm}.
Comparando com a folga g=6{,}35\\ \mathrm{mm}: vemos que
\Delta L_{\text{livre}} = 7{,}34095\\ \mathrm{mm} > g = 6{,}35\\ \mathrm{mm},
logo a folga é insuficiente e aparece tensão quando a folga fecha. A parte impedida é
\Delta = \Delta L_{\text{livre}} - g = 7{,}34095\\ \mathrm{mm} - 6{,}35\\ \mathrm{mm} = 0{,}99095\\ \mathrm{mm} = 0{,}00099095\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a tensão resultante em (b). A deformação mecânica causada (compressiva) é
\varepsilon_{\text{mec}} = -\frac{\Delta}{L} = -\frac{0{,}00099095}{11{,}89} \approx -8{,}3347\times 10^{-5}.
Aplicando a lei de Hooke,
\sigma_{(b)} = E\,\varepsilon_{\text{mec}} = -200\times10^{9}\times 8{,}3347\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa}\approx -1{,}6669\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para MPa:
\sigma_{(b)} \approx -16{,}67\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: a folga absorveu boa parte da dilatação; só a porção excedente gerou uma tensão de compressão relativamente pequena, cerca de -16{,}7\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Resumo/checagens rápidas (como eu faria na prova):
  • Computar \Delta T corretamente.
  • Usar \sigma=-E\alpha\Delta T quando a peça estiver totalmente impedida de expandir.
  • Quando existe folga, calcular \Delta L_{\text{livre}} e comparar com g. Se exceder, a tensão é \sigma = -E\left(\alpha\Delta T - \dfrac{g}{L}\right) (obtida combinando \Delta=L(\alpha\Delta T) e cancelando a parte livre g).
  • Unidades: sempre manter E em Pa, L em m, g em m, e convertir o resultado para MPa para leitura mais fácil.

Resposta

(a) -123{,}48\\ \mathrm{MPa} (compressão)
(b) -16{,}67\\ \mathrm{MPa} (compressão)

Exercícios relacionados