Sejam a e b inteiros não simultaneamente nulos e d=\operatorname{mdc}(a, b). Dado um inteiro c tal que a \mid c e b \mid c, prove que \left.\frac{a b}{d} \right\rvert\, c.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • São dados a e b inteiros, não simultaneamente nulos.
  • Define-se d=\operatorname{mdc}(a,b).
  • Há um inteiro c tal que a\mid c e b\mid c.
  • A pergunta é: provar que \displaystyle \frac{ab}{d}\mid c.
Essas são todas as informações relevantes. Nada mais será assumido.

Passo 2

Fatoramos a e b pelo máximo divisor comum d. Ou seja, existe inteiros a' e b' tais que
a=d a',\qquad b=d b'.
Vou justificar por que podemos supor isso e por que \gcd(a',b')=1.
Explicação: como d=\gcd(a,b), por definição d divide a e d divide b, então existem inteiros a' e b' com as igualdades acima. Se existisse um inteiro g>1 que dividisse simultaneamente a' e b', então g dividiria também a=d a' e b=d b', logo dividiria d, contradizendo a maximalidade de d. Portanto \gcd(a',b')=1.

Passo 3

Usamos que a\mid c. Isso significa que existe um inteiro m tal que
c = a m.
Substituindo a=d a' obtemos
c = d a' m.
Isto só reorganiza a informação de que c é múltiplo de a.

Passo 4

Agora usamos que b\mid c. Como b=d b' e c=d a' m, existe um inteiro t tal que
d a' m = c = b t = d b' t.
Cancelando o fator comum d (note que d\neq0 porque a e b não são simultaneamente nulos), obtemos
a' m = b' t,
o que diz que b' divide a' m. Em símbolos:
b' \mid a' m.

Passo 5

Agora aplicamos um fato importante (uma versão do lema de Euclides): se \gcd(a',b')=1 e b'\mid a' m, então b'\mid m.
Prova curta desse fato (didática): como \gcd(a',b')=1, existem inteiros x e y tais que (identidade de Bézout)
a'x + b'y = 1.
Multiplicando ambos os lados por m obtemos
a'x m + b'y m = m.
O termo a' x m é múltiplo de a' m, e sabemos que b'\mid a' m, logo b' divide a' x m. Claramente b' divide b' y m. Somando, b' divide o lado direito m. Portanto b'\mid m. Isso completa a prova do lema.

Passo 6

Como b'\mid m, existe um inteiro k tal que
m = b' k.
Voltemos à expressão de c obtida no Passo 3:
c = a m = a(b' k).
Agora calculemos \dfrac{ab}{d} usando a=d a' e b=d b':
\frac{ab}{d}=\frac{(d a')(d b')}{d}=d a' b'.
Observe que a(b')= (d a')(b')=d a' b'=\dfrac{ab}{d}. Assim
c = a b' k = \frac{ab}{d}\,k.
Isso mostra exatamente que \dfrac{ab}{d} divide c.

Passo 7

Resumo final do raciocínio em uma frase: escrevemos a e b como d a' e d b' com \gcd(a',b')=1; da divisibilidade de c por a e b deduzimos que b' divide m (onde c=a m), logo c=(ab/d)k para algum inteiro k. Portanto \dfrac{ab}{d}\mid c.

Resposta

\displaystyle \frac{ab}{d}\mid c

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