Mostrar que as equações dos problemas 14, 15 e 16 são homogêneas e achar as soluções respectivas.
16-
.
16-
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para os problemas 14, 15 e 16: (i) mostrar que as equações são homogêneas; (ii) achar as soluções respectivas. Foi enviado somente o enunciado do problema 16, que é a equação
Como os problemas 14 e 15 não foram fornecidos, não há como mostrar ou resolver esses dois aqui (faltam os enunciados). Vou então tratar completamente o problema 16: mostrar que a equação dada é homogênea e encontrar a solução geral (mostrarei passo a passo e de forma didática).
Passo 2
Primeiro, o que significa uma equação ser homogênea (explicação didática):
- Uma função
é homogênea de grau se, para todo , vale . - Uma equação da forma
é chamada homogênea quando e são funções homogêneas do mesmo grau. Nesse caso a razão depende apenas do quociente .
Agora aplicando isso à nossa equação:
-
. Verifico . Logo é homogênea de grau . -
. Verifico . Logo é homogênea de grau .
Comoe são homogêneas do mesmo grau, a razão depende apenas de . Portanto a equação é homogênea.
Passo 3
Método padrão para resolver: usar a substituição
onde
é função de
(isto é,
). Intuição: como a razão depende só de
, definir
reduz a equação a uma em
e
separável.
Calcule
em função de
:
Substituo
e
na equação original:
Passo 4
Simplifico o lado direito, primeiro fatorando
:
Portanto a equação fica
Isolo
:
Coloco no mesmo denominador
:
Note que
. Assim
Passo 5
Separei variáveis: escrevo em forma
Retiro o sinal negativo:
Agora faço frações parciais para integrar o lado em
. Procuro
e
tais que
Multiplicando por
:
Comparando coeficientes:
Subtraindo:
. Assim
.
Portanto
Passo 6
Integro ambos os lados:
As integrais são logaritmos:
onde
é constante de integração. Multiplico por
:
com
. Uso propriedades de logaritmo para juntar:
Exponenciando e absorvendo sinais na constante, obtenho uma forma implicita mais simples:
onde
é constante não nula (pode ser zero também).
Passo 7
Volto à variável original
usando
:
Multiplico ambos os lados por
:
Essa é a solução implícita geral. Observações importantes (práticas para prova):
- A derivação usou
porque foi feita a substituição ; portanto a solução é válida em intervalos onde . - Também foi usada a divisão por
(isto é, por ); pontos com (ou ) são singulares da equação original e precisam de cuidado — normalmente não fazem parte de soluções regulares obtidas por essa transformação. - As soluções lineares
e correspondem a casos com e . Vendo a solução final, para obtém-se exatamente essas retas (pois ou tornam o produto zero). Portanto as retas e são soluções (são incluídas no caso ).
Passo 8
Recapitulando do ponto de vista que você vai usar na prova:
- Verifique se numerador e denominador são homogêneos do mesmo grau (aqui ambos de grau
) — então usar . - Substitua, transforme em equação separável em
e . - Resolva por frações parciais e integre.
- Volte para
substituindo . - Verifique soluções singulares (valores constantes de
que anulam o numerador do separável) e as condições de validade ( , evitar zeros no denominador original).
Resposta
A equação é homogênea.
A solução implícita geral é (com
; as retas
e
aparecem para
).
A solução implícita geral é