Em cada problema 7 a 13 achar um fator integrante e resolver a equação dada
8-
.
8-
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para achar um fator integrante e resolver a equação (ou seja, obter a solução geral
). Informações relevantes:
- A equação pode ser escrita numa forma linear padrão do tipo
. - Não há condição inicial; então procuramos a solução geral com uma constante arbitrária
.
Passo 2
Colocar a equação na forma linear padrão. Subtraindo
dos dois lados:
Aqui temos
e
. Vou usar o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem.
Explicação (didática) do fator integrante:
- Para uma equação linear da forma
, um fator integrante é uma função tal que, ao multiplicar toda a equação por , o lado esquerdo se torna a derivada do produto :
- Para que isso ocorra basta escolher
satisfazendo , o que dá
- Essa fórmula é prática e é o que vamos aplicar aqui.
Passo 3
Calcular o fator integrante para
:
Comentário simples: integrando
obtemos
; exponenciando obtemos
.
Passo 4
Multiplicar a equação original (na forma
) pelo fator integrante
:
Calcular o lado direito explicitamente:
Agora reconhecer o lado esquerdo como derivada do produto:
Explicação:
, que coincide com o lado esquerdo.
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
. Calcular as integrais do lado direito:
Portanto obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolar
multiplicando ambos os lados por
:
Assim a solução geral é
.
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivar a solução encontrada e inserir na equação original.
- Derivada de
:
- Calcular
usando :
Como
, a igualdade
é satisfeita, confirmando a solução.