Em cada problema 7 a 13 achar um fator integrante e resolver a equação dada
8- y^{\prime}=e^{2 x}+y-1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = e^{2x} + y - 1,
e pede para achar um fator integrante e resolver a equação (ou seja, obter a solução geral y(x)). Informações relevantes:
  • A equação pode ser escrita numa forma linear padrão do tipo y' + p(x)\,y = q(x).
  • Não há condição inicial; então procuramos a solução geral com uma constante arbitrária C.

Passo 2

Colocar a equação na forma linear padrão. Subtraindo y dos dois lados:
y' - y = e^{2x}-1.
Aqui temos p(x) = -1 e q(x)=e^{2x}-1. Vou usar o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem.
Explicação (didática) do fator integrante:
  • Para uma equação linear da forma y' + p(x)\,y = q(x), um fator integrante \mu(x) é uma função tal que, ao multiplicar toda a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(x)y:
\mu(x)y' + \mu(x)p(x)y = \frac{d}{dx}\!\big(\mu(x)y\big).
  • Para que isso ocorra basta escolher \mu satisfazendo \mu'(x)=\mu(x)p(x), o que dá
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
  • Essa fórmula é prática e é o que vamos aplicar aqui.

Passo 3

Calcular o fator integrante para p(x)=-1:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int -1\,dx\Big)=\exp(-x)=e^{-x}.
Comentário simples: integrando -1 obtemos -x; exponenciando obtemos e^{-x}.

Passo 4

Multiplicar a equação original (na forma y'-y=e^{2x}-1) pelo fator integrante e^{-x}:
e^{-x}y' - e^{-x}y = e^{-x}(e^{2x}-1).
Calcular o lado direito explicitamente:
e^{-x}(e^{2x}-1)=e^{x}-e^{-x}.
Agora reconhecer o lado esquerdo como derivada do produto:
\frac{d}{dx}\!\big(e^{-x}y\big)=e^{x}-e^{-x}.
Explicação: \dfrac{d}{dx}(e^{-x}y)=e^{-x}y'+(e^{-x})'y=e^{-x}y'-e^{-x}y, que coincide com o lado esquerdo.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\!\big(e^{-x}y\big)\,dx = \int (e^{x}-e^{-x})\,dx.
A integral do lado esquerdo é e^{-x}y. Calcular as integrais do lado direito:
\int e^{x}\,dx = e^{x},\qquad \int (-e^{-x})\,dx = +e^{-x}.
Portanto obtemos
e^{-x}y = e^{x} + e^{-x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolar y multiplicando ambos os lados por e^{x}:
y = e^{x}\big(e^{x} + e^{-x} + C\big) = e^{2x} + 1 + C\,e^{x}.
Assim a solução geral é y(x)=e^{2x}+1+C e^{x}.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivar a solução encontrada e inserir na equação original.
  • Derivada de y:
y' = 2e^{2x} + 0 + C e^{x} = 2e^{2x} + C e^{x}.
  • Calcular e^{2x}+y-1 usando y=e^{2x}+1+C e^{x}:
e^{2x}+y-1 = e^{2x} + (e^{2x}+1+Ce^{x}) -1 = 2e^{2x} + C e^{x}.
Como y' = 2e^{2x}+C e^{x}, a igualdade y'=e^{2x}+y-1 é satisfeita, confirmando a solução.

Resposta

y(x)=e^{2x}+1+C\,e^{x}

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