Em cada problema 7 a 13 achar um fator integrante e resolver a equação dada
13- \left(3 x+\frac{6}{y}\right)+\left(\frac{x^{2}}{y}+3 \frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}=0. Dica: Ver o problema 6.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • A equação diferencial dada, escrita na forma diferencial, é
\left(3x+\frac{6}{y}\right)\,dx+\left(\frac{x^{2}}{y}+3\frac{y}{x}\right)\,dy=0.
  • Definimos as funções
M(x,y)=3x+\frac{6}{y}, \qquad N(x,y)=\frac{x^{2}}{y}+3\frac{y}{x}.
  • O enunciado pede:
    • encontrar um fator integrante (ou seja, uma função \mu(x,y) tal que \mu M\,dx+\mu N\,dy seja exata);
    • resolver a equação (obter a solução geral, tipicamente em forma implícita).

Passo 2

Teste de exatidão (para ver se já é exata sem fator integrante).
  • Para uma forma diferencial M\,dx+N\,dy ser exata é preciso que
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
  • Calculo as derivadas parciais (cada expressão está em TeX):
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\!\left(3x+\frac{6}{y}\right) =-\frac{6}{y^{2}}.
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x^{2}}{y}+3\frac{y}{x}\right) =\frac{2x}{y}-3\frac{y}{x^{2}}.
  • Como
-\frac{6}{y^{2}}\neq \frac{2x}{y}-3\frac{y}{x^{2}}
em geral, a forma não é exata. Precisamos então encontrar um fator integrante \mu.

Passo 3

Escolha do tipo de fator integrante e razão.
  • Uma escolha prática (muito usada em provas) é tentar um fator integrante do tipo monômio
\mu(x,y)=x^{a}y^{b},
com constantes a,b\) a determinar. Motivo: muitas equações racionais em potências de \(x,y\) admitem esse tipo de \(\mu\). - Queremos que \(\mu M\,dx+\mu N\,dy\) seja exata, isto é \[\frac{\partial}{\partial y}\big(\mu M\big)=\frac{\partial}{\partial x}\big(\mu N\big).
  • Calculo as expressões com \mu=x^{a}y^{b}.
Primeiro,
\mu M = x^{a}y^{b}\!\left(3x+\frac{6}{y}\right) =3x^{a+1}y^{b}+6x^{a}y^{b-1}.
Derivando em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M) =3(a\text{? não},\\ \text{corrigindo})\;=3b\,x^{a+1}y^{b-1}+6(b-1)\,x^{a}y^{b-2}.ã
(Explicando: ao derivar x^{a+1}y^{b} em y surge o fator b, e ao derivar x^{a}y^{b-1} surge b-1.)
Segundo,
\mu N = x^{a}y^{b}\!\left(\frac{x^{2}}{y}+3\frac{y}{x}\right) = x^{a+2}y^{b-1}+3x^{a-1}y^{b+1}.
Derivando em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}(\mu N) =(a+2)\,x^{a+1}y^{b-1}+3(a-1)\,x^{a-2}y^{b+1}.
  • Igualando as duas expressões obtemos a condição
3b\,x^{a+1}y^{b-1}+6(b-1)\,x^{a}y^{b-2} =(a+2)\,x^{a+1}y^{b-1}+3(a-1)\,x^{a-2}y^{b+1}.
  • Para que essa igualdade seja verdadeira para todo x,y devemos que os coeficientes dos monômios correspondentes anulem. Fatorando x^{a-2}y^{b-2} obtemos a identidade
\big(3b-(a+2)\big)x^{3}y+6(b-1)x^{2}-3(a-1)y^{3}=0\quad\text{(para todo \(x,y\)).}
  • Assim os coeficientes de x^{3}y, x^{2} e y^{3} devem ser zero:
\begin{cases} 3b-(a+2)=0,\\[4pt] 6(b-1)=0,\\[4pt] -3(a-1)=0. \end{cases}
  • Da segunda equação b-1=0\] vem \(\,b=1. Da terceira a-1=0 vem \,a=1. Essas satisfazem a primeira (confere: 3\cdot1-(1+2)=0). Logo
\boxed{a=1,\; b=1}
e um fator integrante adequado é
\mu(x,y)=x^{1}y^{1}=xy.]

Passo 4

Multiplico a equação pelo fator integrante \mu=xy e verifico exatidão.
  • Multiplicando a forma original por xy obtemos
(3x+\tfrac{6}{y})xy\,dx+\big(\tfrac{x^{2}}{y}+3\tfrac{y}{x}\big)xy\,dy=0.
  • Simplificando cada coeficiente:
\big(3x^{2}y+6x\big)\,dx+\big(x^{3}+3y^{2}\big)\,dy=0.
  • Para essa nova forma, calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}y+6x\big)=3x^{2}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}+3y^{2}\big)=3x^{2}.
Como são iguais, a forma é exata — ótimo!

Passo 5

Encontro a função potencial \Phi(x,y) cuja diferencial é a forma exata; a solução geral vem de \Phi(x,y)=C.
  • Busco \Phi tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=3x^{2}y+6x, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=x^{3}+3y^{2}.
  • Integro \partial \Phi/\partial x em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y)=\int\big(3x^{2}y+6x\big)\,dx = y\int 3x^{2}\,dx +\int 6x\,dx = y x^{3}+3x^{2}+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração em relação a x).
  • Agora imposto que \partial \Phi/\partial y coincida com o coeficiente dado:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x^{3}+h'(y)\stackrel{!}{=}x^{3}+3y^{2}.
Logo h'(y)=3y^{2}, integrando:
h(y)=y^{3}+C_{0}.
  • Assim a função potencial é
\Phi(x,y)=x^{3}y+3x^{2}+y^{3}+C_{0}.
  • A solução implícita geral (absorvendo C_{0} em uma constante C) é
x^{3}y+3x^{2}+y^{3}=C.

Passo 6

Interpretação final e lembrança prática.
  • O fator integrante que funcionou foi \mu(x,y)=xy.
  • A solução geral obtida é dada implicitamente por
x^{3}y+3x^{2}+y^{3}=C.
  • Dica rápida: quando os termos em M e N têm potências racionais de x e y, tentar \mu=x^{a}y^{b} é uma boa primeira aposta — leva a um sistema simples para a,b como fizemos.

Resposta

x^{3}y+3x^{2}+y^{3}=C

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