Em cada problema 7 a 13 achar um fator integrante e resolver a equação dada
13- \left(3 x+\frac{6}{y}\right)+\left(\frac{x^{2}}{y}+3 \frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}=0. Dica: Ver o problema 6.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
A equação diferencial dada, escrita na forma diferencial, é
em geral, a forma não é exata. Precisamos então encontrar um fator integrante \mu.
Passo 3
Escolha do tipo de fator integrante e razão.
Uma escolha prática (muito usada em provas) é tentar um fator integrante do tipo monômio
\mu(x,y)=x^{a}y^{b},
com constantes a,b\) a determinar. Motivo: muitas equações racionais em potências de \(x,y\) admitem esse tipo de \(\mu\).
- Queremos que \(\mu M\,dx+\mu N\,dy\) seja exata, isto é
\[\frac{\partial}{\partial y}\big(\mu M\big)=\frac{\partial}{\partial x}\big(\mu N\big).
Calculo as expressões com \mu=x^{a}y^{b}.
Primeiro,
\mu M = x^{a}y^{b}\!\left(3x+\frac{6}{y}\right) =3x^{a+1}y^{b}+6x^{a}y^{b-1}.
Derivando em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M) =3(a\text{? não},\\ \text{corrigindo})\;=3b\,x^{a+1}y^{b-1}+6(b-1)\,x^{a}y^{b-2}.
(Explicando: ao derivar x^{a+1}y^{b} em y surge o fator b, e ao derivar x^{a}y^{b-1} surge b-1.)
Segundo,
\mu N = x^{a}y^{b}\!\left(\frac{x^{2}}{y}+3\frac{y}{x}\right) = x^{a+2}y^{b-1}+3x^{a-1}y^{b+1}.
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo x,y devemos que os coeficientes dos monômios correspondentes anulem. Fatorando x^{a-2}y^{b-2} obtemos a identidade
\big(3b-(a+2)\big)x^{3}y+6(b-1)x^{2}-3(a-1)y^{3}=0\quad\text{(para todo \(x,y\)).}
Assim os coeficientes de x^{3}y, x^{2} e y^{3} devem ser zero:
A solução implícita geral (absorvendo C_{0} em uma constante C) é
x^{3}y+3x^{2}+y^{3}=C.
Passo 6
Interpretação final e lembrança prática.
O fator integrante que funcionou foi \mu(x,y)=xy.
A solução geral obtida é dada implicitamente por
x^{3}y+3x^{2}+y^{3}=C.
Dica rápida: quando os termos em M e N têm potências racionais de x e y, tentar \mu=x^{a}y^{b} é uma boa primeira aposta — leva a um sistema simples para a,b como fizemos.